378 NLÉMoIRES DE L'ACADÉMIE 
Les fonctions de n° pair Y", Vw, Y"1, etc. ne sont autré 
chose que celles dont j’ai détaillé les propriétés dans le vo- 
lume de 1784 ; celles de n° impair ont des propriétés analo- 
gues, que nous démontrerons à mesure que nous en aurons 
besoin. En général , ces fonctions jouent un très grand rôle 
dans la matière dont nous nous occupons. 
Cela posé, si on met au lieu de y, sa valeur cos. © cos. ÿ 
+ sin. © sin: Ÿ cos 0 , et qu'on intègre les quantités 40, 
Y' d0, Y' d0, etc. depuis 6 = o jusqu'à 0 — 360°— 2%, 
on trouvera 
[T8 = 2% 
SY' d0 — 27 cos. © cos, Ÿ 
SY" dû — 2x (< cos. *o — +) (À cos. — :) 
SY""d0 = ax (< cos. w — :cos. ©) (<cos. Ÿ — < cos. ÿ) 
etc. 
Soit cos. © — p, ces. & — x, si nous désisnons par P= 
(mn étant un indice et non un exposant ) la même fonction 
de p que Y® est de y, et par X" une semblable fonction 
de x, on aura eu général 
J'Y dû = ox Pr X». 
Ce résultat est facile à vérifier dans les premiers termes ; 
our s'assurer qu'il a lieu en général, nous renvoyons à la 
démonstration que nous en avons donnée dans le tom. X 
des savans étrangers, pag. 429 et suiv. On trouvera aussi 
dans le présent mémoire, n°..... la démonstration d'une 
proposition générale, dont celle-ci n'est qu'un cas parti- 
culier. 
(5) L'intégration, par rapport à 0 étant ainsi effectuée, 
il en reste deux autres à faire pour évaluer la quantité 
V=—/farAz ds: d\sin. ÿ.(+<P'x + 5 P'X"-Hetc.) 
