400 MÉMOIRES. DE L'ACADÉMIE 
cas à l’autre, qui peut se faire par les degrés les plus insen- 
sibles, anéantiroit tout d'un coup la multiplicité des solu- 
tions. Mais voici un raisonnement qui prouve, de la manière 
la plus satisfaisante, que le coëfficient P est zéro , et qu'il 
n'existe qu'une seule figure d'équilibre. 
(22). Considérons l'expression générale de la quantité Q, 
et voyons à quoi cette expression doit se réduire vers le centre 
du sphéroïde , lorsque 6 est infiniment petit. Quelle que soit 
la loi des densités, comme nous les supposons croissantes de 
la surface au centre, on doit avoir, lorsque 6 est infiniment 
petit, A=f 6—", m étant positif ou zéro. 
Si m n'est pas zéro, la densité sera infinie au centre; mais 
l'hypothèse n’en est pas moins admissible, pourvu que la 
masse, sous un volume fini , soit une quantité finie : or la 
masse est proportionnelle à la quantité o— f'A6° 46 , et en 
ja He ue RASE 
faisant A= f6—", onao—=7—— 
soit plus petit que 3, il n'y a aucun inconvénient à sup- 
poser A 0 =, 
EdA _—m(3— 
En vertu de cette formule, on aura = RE, donc 
l'équation (c') du n° précédent deviendra 
, donc pourvu que #2 
ddQ 3 Q 7 QUI RES 
re he 2 mm) 0: 
or on satisfait généralement à cette équation, en prenant 
Q 1er 6 Nbr EMETRE" 
a’ et b’ étant deux constantes arbitraires , etle nombre positif 
e ayant pour valeur 
e—i+y (AH I) —m(5—m)}. 
On voit donc que si l'intégrale complète de l'équation (c')est 
J 1mECS } [ 
en général Q = &'Q 1 + b'Q>2, les quantités Q 1 etQ2 
doivent se réduire à 6° et 6: —e, lorsqu'on fait 6 infiniment 
petit. Mais il est. clair que si b' n'étoit pas zéro, la valeur 
dcQ, 
