( 185 ) 



d'un heureux emploi des infiniment petits, il évite les longs 

 calculs qu'exige, en général, la méthode des coordonnées 

 rectangulaires. Non-seulement ce mode d'investigation lui 

 fait retrouver, comme on vient de le voir, la plupart des 

 théorèmes connus, mais encore il lui en fait découvrir de 

 nouveaux, presque tous très-importants. En voici quel- 

 ques-uns : 



Eîi un point donné, le produit des flexions de la sur- 

 face , suivant deux directions conjuguées, est égal à la me- 

 sure de la courbure; 



En un même point, les flexions d'une surface, suivant 

 deux directions arbitraires, sont entre elles comme les sinus 

 des angles formés par l'une de ces directions avec la con- 

 juguée de l'autre; 



Si l'on trace, sur une surface, deux séries de courbes, 

 se coupant sous un angle constant Q, la différence de leurs 

 courbures normales en un même point, divisée par la 

 somme de leurs courbures géodésiques, donne un rapport 

 constant., égal à la tangente de l'angle ô ; 



Lorsque deux séries de courbes, Ci et C2, se coupent or- 

 thogonalement sur une surface, le carré de la déviation 

 d'une courbe Cj, est équivalent à la somme des carrés des 

 deux courbures géodésiques de la trajectoire orthogo- 

 nale Cg f); 



(*) Le beau mémoire de M. Saint- Venant , Sur les lignes non planes , 

 contient la démonstration d'un théorème qui a une grande analogie avec 

 celui de M. Gilbert : si —est l'angle de deux rayons de courbure consé- 

 cutifs, et que p et r soient !e rayon de courbure et le rayon de torsion, on a 



1 _ J_ 1 



R^~ p"- r-' 



{Journal de l'École polytechnique , 50" cahier, p. 18). (E. G.) 



