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 l'angle G soit constant, et désignant par da l'élément de 

 surface compris entre deux lignes infiniment voisines de 

 chaque système , on peq| écrire l'équation comme il suit : 



(h 



— = (/, ds^ — rf, ds, . cos 0. 



9. 



Je vais montrer comment on en déduit diverses pro- 

 priétés des trajectoires, qui généralisent le théorème de 

 Gauss, sur les longueurs des lignes géodésiques entre leurs 



trajectoires orthogonales. 



1. Soit ABCD un quadrilatère 

 de grandeur linie, formé sur la 

 surface par deux lignes AB, CD 

 du système c,, et deux lignes 

 AD , BC du système Ca. En appli- 

 quant la relation ci-dessus à tous 

 les éléments de ce quadrilatère, 

 on obtient : 



(1 ). . ff— = (BC — AD) — (DC — AB) cos 0. 



L'intégrale double du premier membre ne dépend donc 

 que des longueurs des arcs AB,....,et l'on a ce théorème : 



Dans tout quadrilatère formé, sur une surface, par deux 

 lignes d'un premier système, et par deux lignes d'un se- 

 cond, qui coupent les premières sous un angle constant, 

 la somme des éléments de surface, multipliés par la cour- 

 bure géodésique des lignes du premier système aux points 

 correspondants , est égale à la différence des deux pre- 

 miers côtés, moins la différence des deux derniers multi- 

 pliée par le cosinus de l'angle d'intersection, 



