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Supposons que les lignes C2 soient géodésiques : —étant 

 nul, il vient 



BC — AD = (DC — AB) cos 9. 



Dans tout quadrilatère formé par deux lignes géodési- 

 ques el deux trajectoires obliques, la différence des côtés 

 géodésiques est égale à celle des deux autres côtés multi- 

 pliée par le cosinus de l'angle d'intersection. 



Cette proposition renferme plusieurs résultats connus. 

 Si9=^, BC = AD; c'est le théorème de Gauss, duquel, 

 au reste, il serait facile de déduire le précédent. 



Si les lignes C2 sont les génératrices d'une surface ré- 

 glée, on retrouve un théorème de M. Catalan (*). 



Si les lignes c, sont les méridiens d'une surface de ré- 

 volution, les trajectoires sont des loxodromies ; donc ; 



Un arc de loxodromie a pour longueur la différence des 

 longueurs des arcs qu'il intercepte sur les méridiens 

 qui passent par ses extrémités , multipliée par la sécante 

 de l'angle sous lequel il coupe ces méridiens [**). Ce 

 théorème curieux donne, pour ainsi dire sans calcul, la 

 longueur du trajet que doit parcourir un navire se diri- 

 geant d'un port vers un autre. 



Considérons, en second lieu, le cas où les lignes c^ 

 ont une courbure géodésique constante — : tels seraient, 

 sur une sphère, un système de petits cercles de même 

 rayon. L'équation (1) devient alors 



S 



- ^ (BC — AD) — (DC - AB) cos d, 



(*) Société i^hilomathique, 4 novembre 1868. 



(**) Dieu, Nouvelles Annales de malhémaUques, t. XII, p. 589. 



