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S désignant l'aire du quadrilatère ABCD. Ainsi Vaire d'un 

 quadrilatère formé par deux lignes dont le rayon de cour- 

 bure géodésique est constant, et par deux trajectoires , 

 divisée par le rayon constant, est égale à la différence des 

 deux premiers côtés, moins celle des deux derniers mul- 

 tipliée par le cosinus de l'angle d'intersection. 



lî. Si l'on avait pris pour direction OX celle de la tan- 

 gente Ti, on aurait obtenu, par des raisonnements tout à 

 fait semblables à ceux qui nous ont conduit à l'équa- 

 tion (1), la formule suivante, applicable au même quadri- 

 latère ABCD : 



(2). . . . /y — = (BC — AD) cos ô — (DC — AB). 



En ajoutant les équations (1) et (2) membre à membre, 

 il vient 



ff[— H ] dG = 2 (BC — AD — DC -4- AB) cos' -, 



ou bien, si l'on convient de prendre BA= — AB, DA = 

 — AD, etc., 



ff (—-+--) d<^ = 2 (AB -4- BC -t- CD -i- DA) cos^ ^ • 



Donc, si , dans un quadrilatère formé par deux courbes 

 quelconques et deux trajectoires , on multiplie chaque élé- 

 ment superficiel par la somme des courbures géodésiques 

 des lignes coordonnées en un point de cet élément, la 

 somme de ces produits est égale au double produit du con- 

 tour du cjuadrilatère {parcouru dans un certain sens], par 

 le carré du cosinus du demi-angle d'intersection. 



