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Admettons que les lignes Cj et Cg satisfassent, en cha- 

 que point, à la condition 



1 1 i 



1- — = cousl. = 7 ; 



9, 9^ f^ 



il viendra 



S = ^k (AB + BC + CD -+- DA) cos' 



'^. 



On peut donc énoncer ce théorème : Si Von trace , sur 

 une surface quelconque, deux systèmes de lignes se cou- 

 pant sous un angle constant B, et telles cpA'en chaque point 

 la somme T de leurs courbures géodésiciues soit constante, 

 faire du quadrilatère compris entre deux lignes de cha- 

 que système a pour mesure le double produit du contour 

 du quadrilatère , parcouru dans un certain sens, par la 

 constante k et par le carré du cosinus de l'angle — • 



La recherche des courbes satisfaisant à la condition 

 énoncée, soit sur le plan, soit sur une surface donnée, 

 présente un problème intéressant de calcul intégral. 



Soustrayons de l'équation (1), l'équation (2), multipliée 

 par cos : nous aurons 



/^P I \ cos e\ 



. et si l'on a, en chaque point de la surface, 



1 ■ cos 6 Q, 

 = 0, ou — = cos e , 



9^ .9. 9^ 



