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C'est à ce dernier théorème que nous faisions allusion 

 au commencement de cette note. 



Joint à la proposition connue que toutes les cubiques, 

 ayant huit points communs, passent par un même neu- 

 vième point, et aux corollaires qui s'en déduisent immé- 

 diatement, il permet de démontrer un grand nombre de 

 propriétés des courbes planes du troisième ordre. 



Nous allons le montrer rapidement. 



Faisons observer, tout d'abord, que l'involution I, 4 , 

 étant définie par l'équation (1), possède trois couples de 

 rayons doubles associés. 



Soit, sur la courbe, un point A, que nous regarderons 

 comme centre de cette involution particulière, et appe- 

 lons son point langentiel. 



Si, par A, nous menons des rayons Ax*/, les points lan- 

 gentiels de A, x, y, que nous désignerons par 0, a, (3 

 seront en ligne droite. 



La droite kxy tournant autour de A , la droite 0a[3 

 tournera autour de 0. Dans ce mouvement, elle prendra 

 des positions particulières où a coïncidera avec (3. 



Considérons une de ces positions et appelons B le point 

 a = (3. 



Les deux droites Bx, By seront tangentes à la cubique, 

 et, par ce point B, on pourra mener deux autres tangentes 

 Bu, Bz. 



Ax, ky, K.z, ku forment un groupe de l'involution. 

 Mais A, x, y étant en ligne droite, Ax, ky constituent 

 un rayon double de cette involution. Il en résulte que ku, 

 kz doivent aussi coïncider, c'est-à-dire que A, u, z sont 

 en ligne droite. 



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