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comme nous l'avons vu, à l'aide d'une courbe du troisième 

 ordre qui ne dépend que des poinls Vabc.g. 



Nous la désignerons par 2 P . 



Si les sepl points abc ... g restent fixes et que P seul 

 varie, les courbes ^varieront également et correspondront 

 à tous les poinls du plan, de telle sorte qu'à chaque point 

 P correspond une courbe 2 p et réciproquement. 



Les courbes 2 P reproduisent le faisceau F 2 3 (a 4 b\ ... </,). 



Si, pour P et P', on détermine les courbes ^ P , 2/, elles 

 se couperont en deux poinls k et k'. 



Maintenant PP' coupe 2 P et 2 P . en deux couples de 



poinls rop, zo'p'. 



il est évident que 



—,ù = m p == kk . 



En effet, d'après la définition même de ces courbes, les 

 couples rop, tôr'p' sont les élémenls neutres de l'involution 

 I 2 3 , marquée sur PP', par F 2 3 . Ces couples ra-p, ra-'p' ne 

 peuvent donc pas différer, et comme, d'ailleurs, les deux 

 courbes ^ P , \, ne peuvent se couper qu'en deux poinls, 

 différents de la base, on a bien la double identité indiquée. 



Il en résulte que deux courbes 2 p , £ pi se coupent tou- 

 jours en deux points situés sur la droite PP'. 



En conséquence, si la courbe 2 P reste fixe, la corde d'in- 

 tersecliou marquée sur celle courbe par toutes les antres, 

 passe par un point fixe de la première. 



Ceci permet de démontrer qu'à loule courbe du faisceau 

 F 2 3 , correspond un point du plan. 



Considérons une courbe quelconque C de ce faisceau ; 

 d'après un théorème connu (*), toutes les autres courbes 



(*) Chasles, Note sur les courbes du troisième ordre, Comptes rendis, 

 t. XLI. 



