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l'égalité donnée par Legendre [Traité des fondions ellip- 

 tiques, etc., t. II, page 502; Paris, 1826) 



-» , z" z a+l I z°+* 



/ s 0-1 e~* dz = Ta 1 . 



V a a -+- 1 2 a -f- 2 



1 z a+3 



1.2 a 



etc. ; 



mais Legendre s'est borné au cas des valeurs réelles posi- 

 tives de l'argument a. 



Nous allons former d'autres expressions de P (x) et Q(x) 

 en exprimant P(x) par une intégrale définie etQ(x) par 

 une série. 



2. Posons t = ae*?', i étant = \/~u et développant 

 e~' suivant les puissances de t : on aura 



a 14-2 



r e~' = a x e"*' — a xH «*<«+'> ?« h e 2(x+2)f 



1.2 



e «(.+s)?* + etc., 



1.2.3 



et par suite l'intégrale 



f*P e~' d f , 



où l'exposant x est une constante par rapport à l'arc <p, 

 pourra se développer dans la série 



H a a" a* ~| 



a" sin 2x^- 1 ■ h .... , 



[x x -f- 1 1.2(i + 2) 1.2.3(x-+-3) J 



car, en général, si m est un nombre entier, on a 



_ e 2(i + m) ri e -l(x + m)7fi 



f e î(x+m) ?' r/f = ; =sin2(a; -+- m)7r=sin2xr. 



