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 On conclut de là 



P(x) = r*t'e-'df. 



sin 2x7r f_ x 



Celte expression paraît devenir illusoire lorsque 2x est 

 un nombre entier, parce que l'intégrale et le diviseur 

 sin2.r7r se réduisent alors à zéro. Mais on peut remplacer 

 x par x -+■ s en supposant ; infiniment petit, et censer sub- 

 stituée à l'expression trouvée de P(x) sa limite pour e = 0. 



3. En supposant que x soit une quantité réelle positive 

 ou que sa partie réelle soit positive, multiplions par 

 l x ' { e~' dt les termes de la formule due à Slirling 



a (a -¥• 1 ) • • • (a -t- n — 1 ) a (a -+- 1 ) • • • (a -+ n — 1 ) a -t- 1 

 et intégrons de t = à / = oo . Nous aurons 



r 



1 r-^-it «• Ql Q « 



t a a(a-+-\) a{a-\-\) (a-t-2) 



a[a -+- l) — (a -+- n — 1) a(a-f- l)~-(a -+- n — i)' 

 où 



Qo=y"* J[ - , c-'rf<,Qi = — f X l x e-'dt, -, 



Q„,= — y x (l — 0(2— -(m — 1 — t)l*e-'dt, • 







R„ = - /""(I - t) (2 - t) - (n-i -0 — 'dt. 

 o a -+- c 



Or il est visible que 



= /"V (8+ ""dti, 



