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Il faut démontrer que le même développement subsiste 

 pour toutes les autres valeurs de x. 



5. Je démontre d'abord que la limite du rapport 



a (a 4- I) ••• {a -+- m — 1) 



pour m infini est toujours nulle. 



Soit f[t)= (1 — (2 — t)...{m— 1 — t). En déve- 

 loppant ce produit, et rappelant les fonctions Q (x), on 

 obtiendra, quelle que soit la valeur de a:, 



y w A0« Xe ~'^= H(m u ) Q(^+O +H i'" , Q^+2)+..--HH, ( r2 1 Q(x-4-^)- 



D'un autre côté la fraction ,. a ./['l-i) aura une valeur 

 numérique qui ne dépassera pas 1, tandis que m croît à 

 l'infini, puisque son carré n'excède pas un produit ayant 

 pour limite ^r\ et par suite le rapport 



ff® re- 



fit 



a (a -+- 1) ••• (a -+- m — 1) 

 aura la même limite que l'autre 



1.2... (m — 1 

 a (o -+-■!)•■• (o-+- »» — 1) 



-J 



t z e~'dt, 



c'est-à-dire zéro. 



Considérons l'autre intégrale 



f T f{t)l x + l e-'d ? , oùt = ae*? k . 



— 7T 



En développant /"(/) et rappelant l'expression donnée 



