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 que pour n infini le rapport 



U„ 



a{a -t- 1) ■■• (a -+- n — i) 

 s'évanouisse, le rapport 



u: 



a {a -+-!)••• (a -\- n — 4)' 



s'évanouira aussi, puisqu'il est démontré (n° 5) que la 

 même chose arrive au rapport 



v: 



a (a -+- 1) ••■ (a -+- n — i) 



Donc, si le développement indiqué subsiste pour l'expo- 

 sant x, il doit aussi subsister pour l'exposant x — 1. Or il 

 subsiste pour toute valeur de x dont la partie réelle est 

 positive : donc il subsistera pour la même valeur dans 

 laquelle la partie réelle soit diminuée de 1. Ayant lieu pour 

 x — 1,1e même raisonnement fera voir qu'il doit avoir 

 lieu pour x — 2, ensuite pour x — 3, x — 4, etc. ; en sorte 

 que ce développement aura lieu aussi pour les valeurs de x 

 dont la partie réelle soit nulle ou négative. 



La généralité de la formule qui termine Je n° 4 est 

 donc démontrée, et il en résulte pour toutes les valeurs deac 

 un développement de la fonction Q(x) en série conver- 

 gente. 



8. Legendre a représenté par r(a, x) l'intégrale 



qui devient 



/"" z a ~ l e~ z dz, 



