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extrémités sur la surface, on doit poser ds— 0, ce qui con- 
duit, comme on sait, aux équations : 
dp dq ar 
GRR ANATN AA AUIES 
dx dy dz 
qui montrent que le plan osculateur de la courbe cherchée 
est constamment normal à la surface. 
. L'équation (1), d'où se tirent ainsi les équations des 
lignes géodésiques d’une surface donnée, peut aussi servir 
à établir diverses propriétés de ces lignes, et cela d’une 
manière assez simple. Concevons en effet que la courbe 
variable dont la longueur est représentée par s, ne cesse pas 
d’être une ligne géodésique. Comme ellesatisfera en chacun 
de ses points aux équations (2), la partie de ds, qui est 
exprimée par une intégrale dans l'équation (1), sera nulle 
d'elle-même, et disparaîtra, de sorte que la variation de 
la longueur d’une ligne géodésique sera donnée simple- 
ment par la formule : 
(5). . po + go + 70 — (pdt + QY + ridzA). 
Les extrémités (£, #, €), (æ, y, =) seront soumises à 
certaines conditions. Appelons 05, ds, les arcs infiniment 
petits qu'elles doivent décrire sur la surface, ©, &, les 
angles sous lesquels ces ares sont coupés par la ligne géo- 
désique variable que l’on considère. On a évidemment : 
dE , 4 oc 
CDS == pl QU re 
ok) 05 OS 
or Yi 02, 
(DER) D —= Pi + Gi a or bi2 D 
? 1 à CE îs, ds 
