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d'où nous concluons de suite : 
NU 0 0. OS — do COS — dS, COS. 
Cette expression est celle dont nous allons faire usage; 
on eu déduit sans peine les propriétés des lignes géodé- 
siques données par Gauss, dans son mémoire sur la théorie 
des surfaces (”). 
& IL 
Considérons une courbe PMQ (fig. 4) tracée sur une 
surface, et définie par une relation entre les longueurs 
s et s/ des lignes géodésiques, menées d’un point quel- 
conque de cette courbe normalement à deux courbes don- 
nées AB, CD sur cette surface. 
On aura donc pour équation de la courbe PMQ : 
Fer er 
Désignons par o, o/ les angles sous lesquels les lignes 
géodésiques coordonnées MM,, MM, coupent respective- 
ment la courbe PMQ. Les variations ds, ds’, calculées 
par la formule (4), en observant que chaque ligne géodé- 
sique reste toujours normale à l’une des courbes AB, CD, 
Soul : 
dS 100008 e, || ds — 06 COS 61, 
et comme on a d’ailleurs : 
(*) Gauss, Disquisitiones generales cirea superficies curvas; Comm. 
de Gôüttingue, t. VI. 
HS 
SCIENCES. — Année 18G0. 
