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Imaginons que la surface S tourne d’un certain angle 
autour de l’axe aa’, et supposons que. pendant cette rota- 
tion, chacun des parallèles compris dans la zone acc'a! 
communique à la génératrice. qu'il touche la vitesse de 
son point de contact, Il est visible qu’au moment où la 
rotation s'achève, l'arc compris, pour chaque parallèle, 
entre le point où le contact subsistait à l’origine et celui 
où 1l s'arrête, se trouve développé suivant la génératrice 
correspondante du cylindre, et que celle-ci a glissé d’une 
longueur précisément égale à cet arc. ù 
Désignons par A l'aire que détermine sur la surface S 
un contour quelconque tracé entre les deux parallèles ca, 
c'a! et les positions extrêmes du méridien qui coïneidait 
d'abord avee la ligne cc’. 
Tous les points de l'aire À se sont appliqués successive- 
ment sur la surface cylindrique, de manière à former une 
série continue de segments rectilignes, juxtaposés, paral- 
lèles , et n'ayant subi, les uns par rapport aux autres, au- 
cun déplacement, si ce n’est celui qui résulte du glisse- 
ment inégal des génératrices sur lesquelles ils sont situés 
respectivement. La conséquence évidente est que Paire, 
déterminée sur le cylindre. par l’ensemble de ces mêmes 
segments, a une étendue précisément égale à celle de. 
l'aire A sur la surface S. Il ne reste donc plus qu'à déve- 
lopper le cylindre, c’est-à-dire qu'à rectifier sa section 
droite, pour obtenir le développement homalographique 
de laire A. Concluons que toute surface de révolution 
comporte, pour chacune de ses parties, de même que 
pour leur ensemble, un mode de développement qui satis- 
fait à la condition de ne point altérer ni l’étendue du tout, 
ni celles des parties. Ajoutons qu’au point de vue gra- 
phique, ce mode rigoureux est en même temps très-simple 
et très-élémentaire. 
