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tinctes d’une ligne de 5"* ordre dépend du nombre de 
racines réelles différentes de l'équation R—0, et puisque 
ce nombre dépend du degré de cette équation, il en ré- 
sulte que toute hypothèse sur les coeflicients qui abaisse 
le degré de ladite équation constitue une condition analy- 
tique d’un genre. 
D'un autre côté, si l'équation dont il s’agit est de degré 
pair, toute hypothèse qui fait changer le signe de son pre- 
mier terme, constitue également une condition analytique 
d’un genre; car l’auteur a fait voir, au préalable, qu'un 
tel changement de signe fait changer la nature de la ligne. 
En appliquant à chaque elasse ces principes de divi- 
sion en genres, l'auteur écarte, comme cela doit être, 
toute hypothèse sur les coeflicients de l'équation en ques- 
tion, lorsque cette hypothèse rend complexe l'équation 
des lignes de cette classe. Il trouve que la première classe 
possède deux genres, la 2"° elasse trois genres, la 5"* classe 
huit genres, la 4"° classe trois genres. 
Dans la 1"° classe, les deux genres sont distingnés par 
H=0et H différent de zéro; et ainsi des autres classes. 
Après avoir fait connaître la division en classes et en 
genres, il cherche la signification géométrique des carac- 
tères analytiques sur lesquels sont fondées ces divisions. 
Il trouve ces significations en cherchant les circon- 
slances remarquables d’une droite sécante avec les lignes 
du 5% degré, lorsque cette sécante est parallèle à une 
direction asymptotique simple, double ou triple. 
D’après l’auteur, lorsque le coefficient de direction 
d’une droite est égal à l’une des trois racines réelles, de 
l’un des deux polynômes en x, z° cités au commencement, 
la direction de cette droite est dite asymptotique simple, 
double, triple, selon que cette racine diffère de chacune 
