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L'auteur commence par chercher quels sont les termes 
que l'on peut faire disparaitre de l'équation proposée, 
sans lui faire perdre de sa généralité. 
A cet effet, représentant par z, z' les coeflicients de di- 
rection (‘} des nouveaux axes des coordonnées par rapport 
à l’ancien axe des abscisses ; par a et b les coordonnées de 
la nouvelle origine, il trouve que l'équation proposée peut 
être transformée en une autre, où, parmi les coefficients, 
fonctions de z, z', ceux de y° et de x° se trouvent multi- 
pliés respectivement par les deux polynômes du 3"° degré 
j } 
(à 1 À -ANr AE 
(Az'5 + Bz°? + Cz'+ D) et (Az + Bz°? + Cz + D). 
Ce sont les hypothèses que l’on peut faire sur le nom- 
bre et la grandeur relative des racines réelles de l’un ou 
l’autre de ces polynômes qui servent de base à la divi- 
sion des courbes du 5°° degré en quatre classes, car 
les racines de l’un sont respectivement égales à celles de 
l’autre. 
Une seule racine réelle est le caractère de la 4"° classe; 
trois racines réelles et inégales , caractère de la 2° classe; 
trois racines réelles dont deux sont égales, caractère de la 
5" classe; trois racines réelles et égales, caractère de la 
4" classe. 
Pour juger quels sont les coefficients fonetions de z, z’, 
qui, dans l'équation transformée, peuvent être annulés 
par des valeurs de z, z', il désigne par —r’, —r',—7r"", 
les trois racines de l'an des polynômes ci-dessus, et il a : 
(*) Nous entendons par coefficient de direction d'une droite, le coefki- 
cient de x dans l'équation de cette droite. 
