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La vitesse d’accroissement, que nous avons à considérer 
ici, a pour expression le produit de l’ordonnée #p par la 
vitesse de translation pa. Elle est donc représentée par 
le parallélogramme mpgs, ou, ce qui revient au même, par 
le produit #s. mn. 
Or, ce produit est la vitesse d’accroissement du quadri- 
_latère mgpn, puisque, d'une part, #n reste égal à la con- 
stante a, et que, d'autre part, la vitesse d’accroissement 
de la perpendiculaire pn est ms. On voit donc que l'aire 
dont nous cherchons la quadrature a même vitesse d’ac- 
croissement que le quadrilatère mgpn. Il en résulte, comme 
tout à l'heure, que si l'aire se compte à partir de l’or- 
donnée passant par le sommet de la chaïinette, et qu’elle 
soit limitée à l'ordonnée mp, elle a précisément pour me- 
sure le quadrilatère mgpn. 
Soit À cette aire : il vient évidemment 
A = apn = aVy— a = a.s.(') 
Équation de la chainette. 
47. Désignons par b l'angle mas ou, ce qui revient au 
même, l’angle que la droite ms, tangente à la chaînette, 
fait avec la droite /k prise pour axe des abscisses. Le trian- 
gle pmn donne immédiatement 
pa y? — a? 
tang b-— = 
mn a 
De là résulte pour équation différentielle de la chai- 
(*) De là trois propriétés remarquables appartenant au triangle mpn. 
10 mn=constt, 90 pn=s. 3° 2mpn=A. 
