C4 Lorenz Zimirko. 



Da wir zur Darstellung aller möglichen Naclibarwerthe blos m gehörig kleiner unter 

 einander unabhängiger Zusätze ?i $0. . .S„, benöthigen, so steht es uns frei unter den (m+l) 

 Grössen r a^ a..a^. . .ß,„ eine beliebige, somit auch eine die Zwecke der Discussion möo-lichst 

 (4) fördernde Eelation zu etabliren, und etwa die Einrichtung derart zu veranstalten, dass man 

 bei einem sehr kleinen r die Grössen a^ cu. . .«,„ endlieh belässt, und nebstbei zur Erfüllung 

 einer geeigneten Eelation verwendet. 



Der eben gegebenen Erklärung gemäss muss unabhängig von speciellen Werthen der mit 

 S bezeichneten Zusätze : 



(^) 



im Zustande des Maximums die Difi'erenz A^ u — u<Co^ 

 „ „ „ Minimums „ „ A = ti — iO> 



sich ergeben, d. h. es muss die Differenz A im Falle des Maximums die Stabilität des nega- 

 tiven — • im Falle des Minimums die Stabilität des positiven Zeichens beurkunden. 

 Verwendet mau in üblicherweise die Differentiationsdeterminante: 



(6) D= «,+ a^+.... + „„, = _ e,+ - ?,+ ....+^SJ 



ax^ dx., ax,n r y ax^ aa\ ux,„ ) 



zur symbolischen Andeutung der an diejenige Function anzubringenden Differentiationen, vor 

 welche dieser Ausdruck in entsprechender Potenz als Factor gesetzt wird , so lässt sich dem 

 Taylor'schen Satze gemäss zur Darstellung der in (5) erwähnten Differenz A folgende Glei- 

 chung schreiben: 



(7) A = u — « = ^ T)'u-^'^ D'u+ '- IPu+ ...+ -^ D''hi + ^ D'ii,, 



1 . - . o . i^s — ij. « : 



wo für <C 1 



«j=/(.T,-}-;-0«„ x, + ?-(ki,,. . .x^ + rf)a,„). 



liier sehen wir die oberwähnte Differenz durch eine nach steigenden Potenzen des sehr 

 klein gedachten r geordnete Eeihe dargestellt, deren jedes einzelne Glied bei der hier voraus- 

 gesetzten Stettigkeit von ic sich grösser gestaltet, als der Betrag der sämmtlichen nachfolgen- 

 den Glieder dieser Reihe. Eine Ausnahme hievon bilden nur diejenigen Glieder der Eeihe, 

 welche unabhänofiff von ?■ und den mit a bezeichneten Grössen Nullwerthe erhalten. 



Die Glieder von der Form: — Dhc, — D""u, — D"«. . . sind in Bezug auf das kleine sonst 



aber willkürliche r von einer uuo-eraden Ordnunff. und besitzen die Eigenheit, entsfeg-enffesetzte 

 A^orzeichen anzunehmen, sobald man bei unveränderten «-Werthen dem r einen entgegenge- 

 setzten Werth zuerkennt. 



Soll nun die in Eeihenform dargestellte Differenz A die Stabilität des Vorzeichens 

 gewähren, so darf der oben gepflogeneu Auseinandersetzung zufolge, keines der mit einem 

 ungeraden Exponenten versehenen Glieder als Anfangsglied von A auftreten, und in Folge 

 dessen müssen die Werthe x^X2,x.^. . .x^^ vor xillem so gewählt werden, dass hiedurch die 

 Gleichung: 



(Q\ ,-, ( (In (hl du \ (hl _ <Ju. ^ (hl 



(/x'i (/X2 " c/x'" ) (Ix^ (Ix^ 



