Beitrag zw Theorie des Grössten und Kleinsten der Functionen etc. 65 



für willkührliche 6 in Erfüllung gehe. Diese Gleichung zerfällt in folgende zur Bestimmung 

 von a'i Xo X3. . .ic„ dienende Eelationen: 



du du ,h, ^^^ ^^^ 



dxi dx.^ d.c 



Die aus diesen in hinreichender Anzahl vorliegenden Gleichungen gezogenen Systeme 

 von je einander zugehörigen primären Werthen von x^ a\ x.^. . .x„ dienen nicht nur zur Ermitt- 

 lung der entsprechenden Werthe der Function u, sondern auch zur Bestimmung aller zu a 

 gehörigen Coefficienten in allen der Form D'u angehörigeu Gliedern; - — es kann sich hiebei 

 ereignen, dass in Folge (9) nebst dem Gliede rDu zufällig noch mehrere unmittelbar darauf- 

 folgende Glieder der Eeihe (7) gleichzeitig verschwinden. Unter solchen Umständen kann 

 jedoch nur dann ein Maximal- oder Minimalzustand von u erwartet werden, wenn das diess- 

 fällige Anfangsglied von A einen geraden Exponenten aufweist, wenn somit das erste nicht 



verschwindende Glied in A der Form —- D-"u angehört. Für diesen Fall hat man aus (7) 



.'« 



A = — Z)-"« + D^"'+'«+ .... (10) 



2mI ^(2«-|-1)! ^ 



Nimmt man die mit 6 bezeichneten Zusätze so an, dass etwa: 



1^0 und e. ==?,=... i-i + .^+, + ... = l,. = 

 werden, so erhält man: 



r ^ a, ^ Ö und a, = a, = . . . (7,_, + a_^, + . . . = a„, = 

 und auch: 



— JJ u = ci ; 



2«! 2uldx'" ' 



s 



hiedurch wird besagt, dass man es immer so einrichten kann, dass das erste in (10) vorkom- 

 mende Glied mit dem 2«"° nach a-, genommenen Differentialquotienten in Bezug auf sein A'or- 

 zeichen übereinstimmt. 



Die Gleichung (12) lässt sich im obigen Sinne für beliebige Werthe von s auffassen, und 

 begründet hiemit den Schluss, dass die Differenz A in Bezug auf ihr Vorzeichen nicht stabil 

 erklärt werden darf, sobald man unter den gleichtönenden Differentialquotienten: 



d-"u d'^u d-'i. 



(11) 



(12j 



dx 



1 a "» 



verschieden bezeichnete Werthe antrifft. Hieraus schliesst man weiter, dass im Falle eines 

 Maximums keiner dieser Ausdrücke ein positives, dass im Falle eines Minimums keiner dieser 

 Ausdrücke ein negatives Vorzeichen darbieten darf. Verschieden bezeichnete Eesultate in (13) 

 gestatten den sicheren Schluss, dass in einem solchen Falle die Function ti sich weder in einem 

 Maximal- noch in einem Minimalzustande befinden kann. 



Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. XXVII. Bd. Abhandl. von Nichtmitgliedern. i 



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