56 Lorenz Zmurko. 



Sind nun die gleichtönenden Differentialquotienten sämmtlieh gleich bezeichnet, dann erst 

 liegt es uns ob, eine weitere Untersuchung anzustellen, ob der Ausdruck : 



(14) i>-"«: 



S 



d'"u 2n ! a"' a° 



dx' dj.\^ 



A.,„ 



mit der einzigen Bedingung: (oCi + a, + a3+ . . . +a„,^2?^) in Bezug auf beliebige Werthe von 

 a die Stabilität seines Vorzeichens beurkundet oder nicht. 



Den Ausdruck A.,^ welcher aus (14) für n^l hervorgeht, und nur dann Gegenstand der 

 Untersuchung sein kann, wenn er nicht unabhängig von den a-Werthen verschwindet, hat 

 Herr Professor Dr. Joseph Petzval erschöpfend behandelt, und gelangte mittelst einer zweck- 

 mässigen Ausübung des in (4) in Aussicht gestellten Anrechtes zu einfachen und präcis aus- 

 geprägten Kriterien [siehe weiter (48)], welche über die Stabilität oder NichtStabilität von A^ 

 entscheiden. Den Grundpfeiler dieser über A.. angestellten Untersuchung bildet nämlich die 

 Aufstellung- der Relation: 



o 



(15) ^^_^„^^„^+...+«^^ = l, 



welche der Beliebigkeit der mit ^ bezeichneten Zusätze unbeschadet durch die Werthe von a 

 in Erfüllung zu gehen hat. 



In der Erwartung eines ebenfalls günstigen Erfolges habe ich bei der Untersuchung des 

 Vorzeichens von A.>,^ folgende der (15) analoge Relation: 



(16) (^^cc:'-;-a:^-ir ...^cr::=^l 



zu Grunde gelegt, und hiedurch die Werthe von a in der Art eingeschränkt, dass die einzelnen 

 a-Werthe blos innerhalb der positiven und der negativen Einheit variiren dürfen. 



Setzt man in (14) «^ ^ «^ ^ "3 = • • • ^ «» = 1 ""'^ summirt ohne Rücksicht auf die Vor- 

 zeichen die numerischen Werthe der in A.,,^ spielenden Coefficienten von der Form: 



2n ! d-"u 



a Ja, !«,!.. djK'dx:... 



1 



so erhält man einen endlichen Zahlenwerth = 8, welcher ganz gewiss den jeweiligen numeri- 

 schen Werth von A.,^ übertrifft, — und es kann behauptet werden, dass der Werth von .4.,,, für 

 alle möglichen Annahmen der der Bedingung (16) genügenden primären Werthsysteme von 

 a^a.^a.i. . .ct,„ nur innerhalb der endlichen Grenzen von — Ä bis -\- S variiren kann, und hiemit 

 nothwendifi-er Weise mindestens Einen endlichen Maximal- und Einen endlichen 

 Mini mal werth aufweisen muss. 



Hierauf fussend notiren wir folgende den Ausdruck ^„„ betreffenden Schlussfolgerungen: 

 a) Gibt es Werthsysteme von aia.,a^. . .«,„, welche ein positives A.,„ liefern, so gibt es auch 

 ganz gewiss solche, welche einen positiven Maximalwerth veranlassen. 

 ^ ) L) Gibt es Werthsysteme, von a,a.,. . .«,„, welche ein negatives A„ liefern, so gibt es ganz 



gewiss auch solche, welche einen negativen Miiiimalwerth von A.,„ veranlassen. 



