Beitrag zur Theorie des Grössten und Kleinsten der Functionen etc. 



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Wenn man die erste Gleichung in (27) mit jeder nachfolgenden verbindet, und dann aus 

 jedem so entstehenden Gleiehungspaare s eliminirt, so erhält man: 



^•In 



(^•in~\ 



,.-'"—1 ,,-'"— 1 



d 



dx. 



■V-: 



n = 



u = 



wobei: 



^■-'"-' 



d 



■ VI 



d 



d 



^2n—) 



dx„ 



r-" 



u. 



u — O 



(2SJ 



(29) 



^ d d d d 



^ = -r '". +T^ ^'■-'+ • • • + 1 — ^'".-. + T" 



(Ar, dXi ux„_i u.c„ 



(30) 



Aus den (m — 1) Gleichungen in (28) findet man nach Umständen mehrere Systeme von 

 primären Werthen der Verhältnisszahlen ?'i ti^v^. . .f,„_i und bestimmt mittelst (29) den einem 

 jeden dieser Systeme entsprechenden Werth von ä, welcher letztere ebenfalls primär ausfallen 

 muss. 



Auf Grund der Bemerkungen in (17) lassen sich aus dem Vorzeichen der so erhaltenen 

 Werthe von s folgende Schlüsse herleiten: 



«) Die Function u befindet sich im Maximum, wenn die eben erwähnten Werthe von .v 

 sämmtlich negativ sich ergeben. 



b) Die Function befindet sich im Minimum, wenn diese .•»■-Werthe sämmtlich positiv sich 

 ergeben. 



c) Die Function zi befindet sich weder im Maximum noch im Minimum, wenn diese 

 Ä -Werthe sowohl positiv als auch negativ möglich erseheinen. 



Die bisherige Untersuchung über Maxima und Minima von u betrifft blos die Systeme 

 von primären aus (9) sich ergebenden Werthe von z\x.,. . .x,„. Im Fall der Einbeziehung der 

 Systeme von complexen «jCCo-'^-a- • -^m müsston wir auch den Zusätzen ^^ t,,. .?„, und folgerichtig 

 auch den in (2) ersichtlichen r und a complexe Formen einräumen. Das in Bezug auf das 



Vorzeichen von A vorherrschende Glied — D-"u erhält etwa für ein primäres r und eine 



y.'2'i 



?•' den Werth -— - D-"u = 5(, und dann für 

 2«! 



zulässige Combination der a -Werthe 



für r 



(31) 



r^r'Y — 1 den Werth -^^ — D-"u = — 51. und berechtigt somit zum Schluss, dass die diess- f32) 



fällige Differenz A der positiven sowohl als auch der negativen Vorzeichen fähig ist, — woraus 

 weiter geschlossen wird, dass Systeme complexer aus (9) sich ergebenden Werthe von Xj^x,. ..x^ 

 weder ein Maximum noch ein Minimum von u zu veranlassen vermögen. 



