Beitrag zur Theorie des Grössten und Kleinsten der Functionen etc. 71 



(ll)ai-f (12)a, + (13)a3+ +{l7n)a„, = a,s 



(21) a, + (22) «,+ (23) «3+ .... 4 {2m) a„, = a,s (40) 



(TOl)a, + (??i2)ö'.., + (w3)«3+ .... +{mm)a,„ = a,„s. 



Wenn man alle diese Gleichungen durch «,„ dividirt, so erscheinen diese m Gleichungen 

 nach den Verhältnisszahlen y, t'ji's. . .^^„_l geordnet. Die ersten (??i — 1) Gleichungen verwende 

 man dazu, um diese Verhältnisszahlen durch s auszudrücken. Durch Einführung der so erhal- 

 tenen Werthe in die letzte Gleichung erhält man eine Gleichung von ot""" Grade nach der Un- 

 bekannten s, welche durch Auflösung vi Werthe für s liefert. Diesen m Werthen von s ent- 

 sprechen ebenso viele Werthsysteme derVerhältaisszahlen v^t^^v^. . .t'„,_i und auch ebenso viele 

 Systeme von a^ a.,. . .a^. 



Seien nun zwei Systeme von zusammengehörigen Werthen: 



(«1 5 (h J «:i • • ■ (';„ : *0i ; («1 ) «2 ; «!n • • • «1. ? «')■-' ' (* 1) 



von denen das erste in den Gleichungen (4^0), das zweite hingegen in folgenden Gleichungen 

 sich ausprägt: 



(1 1) «; + (2 1) «;+ (31) «;+....+ (ml) «: = a\s 



(12) «; + (22) a, + (32) «;+....+ (ni2) «'„, = aj (42) 

 {lni)a[-\-(2m)a2-\-{3m)a'3-f- .... +(?/«,??i)ö|„^ a',/. 



Die hier bewirkte Verstellung der Zeiger innerhalb der Klammern ist ja nach (39) gestattet. 



Wenn man die Gleichungen (40) der Reihe nach mit a\, a'o, d^. . .a^ multiplicirt, und die 



so erhaltenen Gleichungen addirt, und als Summe der aufeinander folgenden Verticalpolynome 



darstellt, so erhält man etwa als drittes Verticalpolynom mit Rücksicht auf die dritte in (42): 



( 1 3) «3«; + (23) «3«; + (33) a-ß'., + . . . + (m3) a^'^ = a-, . d^, 



und demgemäss als Summe aller Verticalpolynome: 



a, . a\s' + a., . dJ + a., . d/ + . . . + a,„ . dj = d, .a^s-\- d., . a,s +...+«;„. a,^s, 

 oder 



[s — s) {aißi + a.al + . . . -\-a,„dj = 0. (43) 



Sei nun 



s =p + q j/^ «, = a, + ß, |/=:T, a,, = et, + ,1 Y^^ ,...«,„ = a„. + ß„, ]/— 1 (44) 



das erste den Gleichungen (40) genügende Werthsystem, so können wir immerhin als das 

 zweite den Gleichungen (42) genügende Werthsystem folgendes ansehen: 



s:=p-qY^I, «;= a,-i3,l/=l , «: = a — ß, V'^^T, . . .«;,= «,— ,3,„1/-I. (45) 



