72 Lorenz Zmurko. 



Da ferner ganz allgemein « „,«1 = o'l + ß» sich ergibt, so erhält man auf Grundlage der 

 Hypothese (44) die Gleichung (40) in folgender Gestalt: 



(46) — 2^]/— ijai + aH • • • +«;+ß;+ß^-f • • • +ßi,;==o. 



Diese Gleichung lässt sich durch Annulirung des eingeklammerten Factors nicht erfüllen, 

 weil dies im Widerspruche mit der zweiten in (oS) die Satzungen: 



«1 = OCo = . . . = a„, = ßi ^ j3_. = . . . = |J„, ^ r/j :^ CL, = . . . r= U,,^ = 



zur Folge hätte. Aber auch nicht durch die Satzung q = 0, weil dies der in (44) gemachten 

 Hypothese widerspricht. Es bleibt somit nichts übrig, als dass wir von der Hypothese (44) 

 abstehen und anerkennen, dass dem Gleichungssysteme (40) complexe i'-Werthe zu genügen 

 nicht geeignet sind, dass somit aus (40) nur primäre s-Werthe resultiren können. 

 Die aus (40) gefolgerte Elimiuationsgleichung in s habe nun folgende Gestalt: 



(47) ,"' + 6_^,'"-^ + 6„,_36-'"-^+ . . .^b,s'i-b,= [Siehe §. 3 (23)], 



welche auf Grund des eben gelieferten Nachweises blos primäre Wurzeln zulässt, und in Folge 

 dessen nicht erst aufgelöst zu werden braucht, um in Bezug auf den Zustand der Function ti 

 folgende Kriterien zu bieten: 



aj Bietet die Coefficientengruppe in (47) lauter Zeichenfolgen, so ergeben sich die zuge- 

 hörigen s-Werthe sämmtlich negativ und u befindet sich im Maximum; 



(48) bj Bietet die Coefficientengruppe in (47) lauter Zeichenabwechslungen, so ergeben sich 

 die zugehörigen s-Werthe sämnitlicdi positiv und u befindet sich im Minimum; 



cj Finden sich in (47) sowohl Zeichenwechsel als auch Zeichenfolgen ein, so ergeben 

 sich die betreffenden s-Werthe theils positiv, theils negativ, und u befindet sich weder im 

 Maximum noch im Minimum. 



Die Bildung der Eliminationsgleichung (47) aus (40) wird nach Gramm er am einfach- 

 sten mit Hilfe der combinatorischen Determinante durchgeführt. Es sei mir hier gestattet die 

 einschlägige Theorie in möglichster Kürze beizufügen. Bei dieser Gelegenheit werde ich mich 

 bestreben, nebst einigen auf die Darstellung sich beziehenden Vereinfachungen, eine wichtige 

 Eigenschaft der sogenannten Functionsdeterminante mit einem Beweis zu belegen, Avelche un- 

 bewiesen vom Herrn Otto Hesse aufgestellt und zur Transformation der zweiten Variation 

 eines bestimmten Integrales von der Form : 



^=f/{.v,!/,y',i/\...>jnch 



mit ausgezeichnetem Erfolg verwendet worden ist, um zu den Kriterien des Maximums und 

 Minimums von A zu gelangen. (Siehe Journale von Grelle, 54. Band, pag. 249.) 



