Beitrag zur Theorie des Grössten und Kleinsten der Functionen etc. 73 



§• 2. 



Über die combinatorische Zeichengruppe. 



Einer jeden aus den Elementen 1, 2, 3, 4, . . . (« — 1), n gebildeten Permutationsform 

 entspricht ein System von je Q) Amben, von denen einige von Links nach Kechts gehend, 

 eine Zunahme, die übrigen hingegen eine Abnahme beurkunden. Die ersteren Umstände (1) 

 mögen Steigungen, die letzteren hingegen Senkungen heissen. Die Anzahl der Stei- 

 gungen und Senkungen zusammengenommen beträgt demnach Q). 



Zu einer Permutationsform : P„ = AkBkC, in welcher h und k einzelne Elemente vor- 

 stellen, und durch A, B, C, die aus den übrigen Elementen gebauten Partialgruppen ange- 

 deutet sind, findet man die in Bezug auf das Elementenpaar hk zugeordnete Permutationsform 

 P„, dadurch, dass man blos die Elemente h und k gegen einanden austauscht. 



Demgemäss ist: r^, = AkBkC, vsrobei w^ir durch a und a die jeweilig der Gruppe ange- 

 hörige Anzahl der Senkungen andeuten. 



Sind die aus den Partialgruppen Ah, AB, AG, hC, BC, kC zu gewinnenden Senkungen 

 in der Anzahl y vorhanden, so wissen wir, dass y zu « und a in gleicher Weise als gemein- 

 schaftlicher Bestandtlieil angehört. 



Ist e die Anzahl der in B enthaltenen Elemente , und findet man unter diesen 

 Elementen : 



?n höhere Elemente als k, w tiefere Elemente aJs h; 



(2) 



so erhält man vor Allem: 



e = j)i-\-ic = 7)1' + w'. (3) 



Man findet für h^k aus der Partialgruppe hBk: 



(die Anzahl Senkungen) := l-{-w + 7n', 

 somit: 



a = -(-\-m'-\-w+l und eben so a'=Y + ">' + "*, (4) 



hieraus 



a + a = 2-(-\-{iD + m) + {w' + m') + l = 2(-i + e)+l, (5) 



dem zufolge hat man: 



(-ly X (-ir- (-ir^'=-i, (6) 



wodurch besagt wird, dass die den einander zugeordneten Gruppen P„ und P^, entsprechenden 

 Potenzen ( — 1)' und (—1)"' auf entgegengesetzte Vorzeichen deuten. 



Aus r Elementen erhält man r! Permutationen. Bezeichnet man mit a, ß, y» 8, s. . . die 

 den aufeinanderfolgenden Gruppen zugehörigen Anzahlen der Senkungen, so erhält man 



DeDkachriften der mathem.-natarw. Cl. XXVII. Bd. Abhandl. von Nichtmitgliedcrn. fc 



