74 Lorenz Zmurko. 



die diesen Gruppen entsprechende aus r! Vorzeichen bestehende Zeichengruppe Z^ im 



Folcrenden: 



(7) Z, = (-1)% (-1)'\ (- l)\ {-l)\ {-!)% . . . 



und dies ist die zu r Elementen gehörige combinatorische Zeichengruppe. 



So erhält man für die Elemente 1,2, 3 die Permutationen: 123, 132, 213, 231, 312, 

 321, welchen der Reihe nach die Senkungsanzahlen 0, 1, 1, 2, 2, 3 entsprechen. 



Dem gemäss ist: 



^3= + ++-; 



und in gleicher Weise: 



(8) 2r, = ^ ; Z, = + -. 



Die in dieser Weise eingeleitete Aufstellung der Zeichengruppe Z^ ist bei einem nur 

 etwas höheren Zeiger r sehr mühsam — es erscheint daher ein Verfahren sehr wünschens- 

 werth, nach welchem man mit Umgehung der Auszählung der Senkungen jede beliebige 

 Zeichengruppe Z^ unmittelbar hinzuschreiben im Stande wäre. 



Iliezu verhilft uns folgende Consideration : Die Aufstellung aller möglichen Permuta- 

 tionen aus r Elementen in der Anreihung derselben von der niederen zur nächst höheren 

 Gruppe bietet uns r Partien von je (r — 1)! Gruppen dar, welche beziehungsweise mit den 

 Elementen 1, 2, 3, . . .r beginnen, je nachdem solche zur 1'"°, 2""", 3"°, r'"" Partie gehören. 



Die zu irgend einer etwa zur s*"" Partie gehörigen Gruppen gehen Glied für Glied in die 

 zur (s+l/'"' Partie gehörigen Gruppen über, wenn man in jeder Gruppe der s'" Partie blos 

 die Elemente s und (*'+l) ihre Plätze wechselseitig austauschen lässt. Es sind somit die 

 Gruppen einer jeden, etwa der s'" Partie, Glied für Glied sowohl den Gruppen der unmittelbar 

 vorangehenden, als auch den Gruppen der nächstfolgenden Partie zugeordnet, und zwar im 

 ersten Falle in Bezug auf das Elementenpaar (s — 1), * — im zweiten Falle in Bezug auf das 

 Elementenpaar s, i-fl. Man erhält somit aus der der 6'^° Partie angehörigen Zeichengruppe 

 diejenige, welche der (.s-l-l)'*'" Partie angehört dadurch, dass man den sämmtlichen zur *'" 

 Partie gehörigen Zeichencomplex entgegengesetzt anschreibt. 



Die zur ersten Partie gehörigen Gruppen beginnen sämmtlich mit dem Elemente 1, und 

 bieten nach einander dieselben Senkungszahlen und dieselbe Zeichengruppe, welche man aus 

 den zu 2, 3, 4,. . . (r — 1). ?•, oder auch aus den zu 1, 2, 3, 4, . . .(/• — 1) gehörigen Permuta- 

 tionsformen gewinnt. Demgemäss können wir die zur ersten Partie gehörige Zeichengruppe 

 mit dem Symbol Z,_, bezeichnen, und in weiterer Folge die zur 1"^", 2'™, 3"^V . .?•"=" Partie 

 gehörigen Zeicheugruppcn durch die Symbole: 



{-iyz,._„ {-i)'z^_,. {-\fz^_,, ^_ly--•z,._,. (-ir'z._, 



ausdrücken und schliesslich folgende Relation anschreiben: 



(^) Z,= (-lj"^._,-f-(-l/^._, + (-l)'-'Z,_,+ . . . . +(_l)^-^,_„ 



