Beitrag zur Theorie des Grössten und Kleinsten der Functionen etc. 75 



dem gemäss erhält mau : 



^.= +; 

 ^2=(+)-(+)- + -; 



^3=(+— ) — (+—) + ( + — ) = + ++— ; 



^-.=( + + + -)-( + ++-) + (+ + + -)-(-+ ++-)= (^'-^ 



= + ++ ++ ++ ++ ++ + ; 



Z^^Zj^ — Z^ + Z^ — Zi + z, &. 



Bei der Austheilung der Vorzeichen an die einzelnen Permutationen können wir die in 

 (10) angedeutete Vermittlung der Klammerfassungen ausser Acht lassen, und den stufen- 

 weisen Fortgang bei der Aufstellung der Zeichengruppen in Gedanken festhaltend, unmit- 

 telbar diejenige Zeichengruppe niederschreiben, welche zur verlangten Anzahl von Elementen 

 hingehört. 



Auf Grund der Gleichung (9) gelangt man für 



A = ajn\-^a^_^{m — l)!-|-a„_.(»i — 2)!-f- . . . -\-a^.r\ wo ganz allgemein a3<5! (11) 



zur folgenden sehr einfachen Relation: 



r 



(Schlusszeichen von A Anfangsgruppen) ^ — ( — 1)-' , (12) 



wo a diexVnzahl der ungeraden in (11) vorkommenden a bedeutet, und unter — i die grösste in — 



enthaltene ganze Zahl verstanden wird*). 

 Es ist z. B. 



12654 = 101.5! + 2-1.4! -f 5.3! 



',+3 



(Schlusszeichen von 12G54 Anfangsgruppen) = — ( — 1)^ = — ( — 1)^^ — 1. 

 Es ist wegen (11): 



A + \ =ajn\-^a^_,{m-\)\ + . . . . +«,r! -^ 1.1! 

 hiemit: 



(Schlusszeichen von (^1-f-l) Anfangsgruppen) = — ( — l)°+'+y|=r — ( — 1)°+^ 

 und 



(Schlusszeichen von yl Anfangsgruppen) ^,+1 .^ „. 



vSchlusszeichen von (^-f 1) Anfangsgruppen 



Hieraus geht hervor, dass das A"^ Vorzeichen mit dem nächst folgenden übereinstimmt 



oder nicht, je nachdem — i ungerade oder gerad sich gestaltet. 



Im Allgemeinen wechselt in der Zeichengruppe das Zeichenpaar (-t--f) mit dem 



Zeichenpaar ( ) regelmässig ab. — Die Ausnahmen hievon sind mittelst (13) leicht zu 



eruiren. 



*) Ebenso könnte man die möglichst kleinste ganze Zahl, welehe den Werth von ~ in sich enthält, mit dem Symbol J bezeichnen, 



und in Folge dessen die Relation — , + — I = r einräumen. 



k* 



