Beitrag zur Theorie des Gr'össten und Kleinsten der Functionen etc. 77 



Durch das Symbol \'r\ n \ deuten wir denjenigenWerth an, welchen die zu (1) gehörige 



Determinante annimmt, wenn man in derselben den Verticalzeiger r unterdrückt, und auf 

 diese Weise etwa das Symbol isr) in das Symbol {s) übergehen lässt. Ilievon kann jedoch nur 

 dann die Rede sein, wenn überhaupt die Symbole (1), (2), (3), . . . in) auf gewisse in der 

 laufenden Untersuchung einbegriffenen Grössen deuten. 



Die zum Tableau (1) gehörige Determinante | | > erhält man als eine Summe von 



n\ Gliedern, welche aus dem Producte: 



(11) (22) (33) (44)... M (5) 



hervorgehen, sobald man in demselben blos die Verticalzeiger auf alle möglichen Weisen 

 permutirt, und die Horizontalzeiger an ihren Plätzen belässt, und schliesslich den so ent- 

 stehenden n\ Gliedern der Reihe nach jene Vorzeichen ertheilt, wie solche in der 

 §. 2 (7) (10) besprochenen combinatorischen Zeichengruppe auf einander folgen. 

 Beispielsweise erhält man: 



{'P'j = (ll)(ll)-(12)(21)' 



j p1 = (11) (22) (33) - (11) (23) (32) - (12) (21) (33) + (12) (23) (31) + (13) (21) (32) (6) 



-(13) (22) (31). 



Man würde zu demselben Resultate gelangen, wenn man in (5) mit Belassung der Ver- 

 ticalzeiger blos die Horizontalzeiger permutirt hätte. Daraus ersieht man auch, dass bei der 

 Bildung eines beliebigen Gliedes der Determinante die Horizontal- und Verticalreihen des 

 Zafelensystems (1) blos mit je einem einzigen Bestandtheile betheiligt sind. 



Die sämmtlichen aus den Verticalzeigern gebildeten Permutationsformen zerfallen mit 

 Rücksicht auf zwei ins Auge gefassten Verticalzeiger h.,k in ^_n\ Paare von je einander 

 zugeordneten Gruppen. Jedes dieser Paare trägt zur Bildung eines entsprechenden Glieder- 

 paares in I 1 ( bei, von je zwei einander zugeordneten mit entgegengesetzten Vorzeichen 



versehenen Summanten. 



In diesem Sinne erhält man aus den im §. 2 erwähnten Gruppen P„ und P„, die ent- 

 sprechenden mit Rücksicht auf die Verticalzeiger h und k einander zugeordneten Summanten 

 S^i S^' im Folgenden: 



S^ = {-iyA{h'h)B(kk)C; S^.=={—lT'A(Jik)B{kh)C (7) 



wo die unter A, P, C gelegten Schlangenstriche andeuten , dass die in dieser Partialgruppe 

 enthaltenen Verticalzeiger die entsprechenden Horizontalbegleiter bereits erhalten haben, und 

 je in eine runde Klammer gefasst sind. 



Aus (7) erhält man: 



S, + S^. = {—lyABC \ (h'h) {k'k) — {h'k) (k\) [h (8) 



