78 Lorenz Zmiirko. 



Diese Summe verschwindet in folgenden vier Fällen: 



1. Wenn man in derselben h an die Stelle von k setzt; 



-) 



(9) <J- 77 DJ) r> 



A 



^- v n V n 



Es wird somit ein Paar von einander zugeordneten Summanten verschwinden, wenn man 

 in demselben irgend einen Zeiger von dem zu Grunde liegenden Zeigerpaar durch den anderen 

 Zeiger ersetzt. Das zu Grunde liegende Zeigerpaar mag sonst aus der Horizontal- oder auch 

 aus der Verticalzeigerreihe entnommen worden sein. 



Die Determinante lässt sich mit Zugrundelegung eines beliebigen Zeigerpaares in lauter 

 Paare von einander zugeordneten Summanten abtheilen — muss daher in folgenden Fällen 

 verschwinden : 



(10) a) Wenn man in derselben irgend eine Verticalreihe durch eine andere Verticalreihe ersetzt. 

 b) Wenn man in derselben irgend eine Horizontalreihe durch eine andere Horizontal- 

 reihe ersetzt. 



Aus (9) und (10) folgern wir folgende Relationen: 



(11) l'"!"^ [ =*^ ; I I " I — *^ sobald r'^s . 



Ordnet man die zu (1) gehörige Determinante nach irgend einer, etwa der s*^° Vertical- 

 reihe, so erhält man etwa: 



(12) j 'l "i = (16')'?, + (25)y,3+ (3s)y3+ .... 4 {7is)q„. 



Wenn man die combinatorische Operation aufmerksam prüft, mittelst welcher man zum 



Ausdruck < | > gelangt, so muss man zugeben, dass jedes von den in (12) ersichtlichen q 



etwa q^ gerade durch eine ähnliche Operation aus den Horizontalzeigern 1, 2, 3, 4, . . . 

 [r — 1), (r-f 1), ?'+2). . .n und aus den Verticalzeigern 1, 2, 3, 4,. . .(s — 1), {s-\-\), (5-}-2), . . .n 

 gebildet wird , mit der einzigen Bedingung, dass man die diesen Zeigern im Sinne (2) entspre- 



1 



chende Determinante |s| \ mit ( — 1)' "■ multipliciren muss, um q, zu erhalten. 



f 7t 1 



Wir werden jedoch in der nächstfolgenden Untersuchung zum Behufe der einfacheren 



l 1 nl 



Schreibweise jeden Ausdruck von der Form ( — 1)'"'' <s| > schlechtweg durch das Symbol 



i r \ 1 " 1 



<*| > ersetzen, und demgemäss die Gleichung (12) in folgender Form anschreiben: 



I [ = (l*)i»| i + (26')!«n! + •■■■^{ns) 



(13) und eben so 



{ . \ [ \ ■< \ t » \ ( ' 



P =(,,1) tp -f(.2) .| +....+ (.v») '<| /, 



