Beitrag zur Theorie des Grössten und Kleinsten der Fanction''n etc. 81 



Füi" {ji^-2) erhält man aus (25) mit Ilücksicht auf die entsprechendt! Deteniiinauto : 



{la,){la,r 



r 



(}.a,)i}.a,f 



odci 



= )m, ila.;)''^ — {Xr,,)(>) {\a,) = \a, (ka<^^ + X'-'a.) — (X«'/' + X'"«,) la, i-^) 



(>.) 





C^") 



(1) 



Die unter dem rechten Klammerarme angehängten Zeiger (X) und (1) deuten an, ob die 

 im Functionstableau mit a bezeichneten Functionen mit X oder mit 1 multiplicirt gedacht 

 werden sollen. 



Aus (27) ersieht man, dass für den dort angedeuteten Fall die mit beliebigem X versehene 

 Determinante erhalten wird, wenn mau die zu X = l gehörige Determinante mit X- multiplicirt. 

 Wir vermuthen, dass dieses Gesetz für beliebige Ausdehnung des Fuuctionstableau's seine 

 Giltigkeit bewähren wird, und sich in folgender Gleichung ausprägt: 



1 n1 [ 1 n) *) 



= X" ■ 



(•is) 



w 



(1) 



Auf Grund der höheren Induction wird das Gesetz in (28) erwiesen sein, sobald wir 

 gezeigt haben werden, dass es für den Fall n=^m gelten muss, wenn man seine Giltigkeit für (29) 

 den Fall ii^vi — 1 bereits als erwiesen voraussetzt. 



Behufs dessen hat man wegen (13) und (24): 



|i I 



= {Im) 



+ (2;«)i 



+ (mm) ( 



) f ( 



(M 



W 



(X) 



m 



w 



Da aber die Determinante \m\ \ zu einem Functionstableau gehört, welches aus (25) 



(>.) 



durch "Weglassung der we""' Verticalreihe und der r"^" Horizontalreihe entsteht, so gehört diese 

 Determinante für beliebiges r dem Fall n=:.m — 1 an, und mau hat (h^r Hypothese (29) gemäss 



ym~\ 



(>•) 



(Ij 



Setzt man Kürze halber: 



G = Xf"'-''a, h("'70 X<"'--'«("+ . . . ^ (:-i) X'»a;» -■'= (("zl) a^r" '>^"""%Z 



—piV = ("•-') 



(31) 



(32) 



"; Während Hesse seine Untersuchung auf dieses Gesetz zu stützen unternimmt, spricht er sich über dasselbe mit folgenden 

 Worten aus: „Ich erinnere mich nicht, dieses Gesetz irgendwo gelesen zuhaben." Da er seinen eigenen Beweis liievon bis 

 jetzt der Öffentlichkeit nicht übergab, so glaube ich hiedurch hinlänglich gerechtfertigt zu sein, dass ich meinen eigenen Beweis 

 dieses Satzes in dieser .\bhandlung niederlege. 

 Denksthriflcn der nialhem.-naturw. CI. XXYII. Bd. Abh;indl. von Nlchtmitgliedern. 1 



