Die LaplacQsche Methode der Ausc/lcuhung von Jieobachtimgisfelikrn tte. 23 



«1 = £'1 ^ j -^-i = 9t'^^ (''') 



wii ^|^, g., zwei ganze (positive oder negative) Zahlen sind, unil 'i^^-iiy 



Dann sei M,. die Wahischeinliclikeit eines Fehlers ww bei der Beobachtungsvveise , welche B,. ergab, 

 wo .1/r als von m und r abh.ängig anzusehen ist (in eine ganze Zahl). 



Um jedoch Verwirrung vorzubeugen, wollen wir dieselbe Grösse &j bei den n einzelnen Gruppen (5"! 



durch o), , co„ bezeichnen, dabei aber nicht übersehen, dass wir gehalten sind, alle diese c«> als eiuan- 



iler gleich zu behandeln. Somit ist 37,. die Wahrscheinlichkeit, den Fehler «wj zu begehen; natürlich ist 

 dieselbe Grösse auch die Wahrscheinlichkeit, dass der mit ''^^■f^^ multiplicirte Fehler den Werth ^^--j^v-) nitji 

 habe. 



Bezieht sich das Summirungszcichen }i: auf alle ganzen Zahlen zwischen y, und r/j (die möglich sind), 

 nud l)ildet man das Product 



' , (8) 



■ • • i;lf, r""'Pi^s +■••"'""'"'"'■'«1^» , 



so liefert dasselbe eine Reihe von Gliedern, die unter der Form 



auftreten. Die Glieder, welche zum Exponenten ;i, oi, beitragen, bestehen aus den ersten Theilen der Fac- 

 toren in (8) u. s. w. , und es bildet sich ,a, ans einer Summe von Grössen »i j3, yt*) , . . . , m /3, 7''), worin die m 

 alle mögliche Werthe durchlaufen. Jedes der betreffenden Glieder in (8) ist mit der Wahrscheinlichkeit 

 multiplicirt , es habe der Fehler £ den Werth mw, , also auch ß,'/',''^ den Werth ß, 7^^^) ?m oj, *. Würde man 

 also in (8) die Grössen w^,..., w„ ganz w-eglassen, so wäre 7i in (9) die Wahrscheinlichkeit, dass 



Pl /l ^1 ^^ • • • ^^ Hl /s ^S Pl ^1 



genau den Werth ,u.j w, hätte. Hieraus folgt aber sofort, dass überhaupt /i' die Wahrscheinlichkeit gibt, es 

 seien zugleich : 



ß^ £", = iJ., w, , ,3^ £"2 = ;^2 ^2 , . . . , ,3„ E„ = ,a„ co„. (10) 



Es wurde schon oben darauf hingewiesen, dass wir gehalten sind, die sänimtlichen co als einander 

 gleich anzunehmen; einstweilen kommt es darauf nicht weiter an. Eine Unterscheidung, wenigstens in der 

 Bezeichnung, war aber nothwendig, da sonst die einzelnen Glieder (9) nicht auseinander zu halten wären. 

 Es wird sich im Nachstehenden (V.) herausstellen, dass wir immerhin gezwungen sind, die Gleichheit der 

 0} festzuhalten. 



IV. Setzen wir 



r'- = As (11) 



so ist bekanntlieh 



li = -7^\. ■ pe"-"' ^■-^■■■+^»'*'0 ' P^0, . . dh)„ , (12) 



wo 



1 * 



Dieser Satz fordert namentlich, dass ,u, , ;j.„ ganze Zahlen seien, was nach der Annahme in (6) offen- 

 bar der Fall ist. (Und blos desshalb mussten wir die fragliche Annahme machen.) 



Wo pjvl,'' »« eiue gauze Zahl ist, also fi^-j'^'' mta^ eia Vielfaches von <Oj. (Vergl. §.6, VI.) 



