Die Laplace.schr- Methode der Auscjleichnnq von JlcoJinrhfaiui.-ifehlern etc. 35 



wodiucli (limii wegen tles oben gefundenen Wertliess von p.+i aucli die allgenieine (liltigkcit der zweiten Glei- 

 chung (42,) erwiesen ist. 



VI. Hiernach also kann man aussprechen : 



Hängen die x und .: durch die Gleichungen (^;>!'0 zusammen, so ist 



Ä,-S,^,,ava', = Ä,p,s^ (43) 



wi> nun y*. durcli (42,) oder kurzweg (42) gegeben ist. Die «,, ;. in (39) sind ebenfalls durch (42) genau 

 bestimmt, und es ist bei Allem die Richtigkeit der Gleichung (.37') angenommen. Die Einführung in das Inte- 

 gral (33), wo a an die Stelle unserer .i- tritt, erfordert jedoch noch wegen des dortigen trigonometrischen 

 Factors den Ausdruck der Grössen a; in s, d. h. die Umkehrung der (39). 



VII. Aus diesen (üeicluingen folgt offenbar 



a'j ^=^ .- j 1 1,2 *" 1 ~^ ' ' ' ''\ ,11 -^11 ? 



.'■j = Sj, -f- ...-<- Ä 2, „ Z„ , (44) 



wo nun die h nälicr zu bestiniiiien sind. 



Setzt man die Werthe (44) in (.39) ein, so müssen natürlich letztere (Ucicliungen identisch erfüllt sein. 

 Dies gibt 



^/, i- -+- «,-, ,-t-i f'i+i. k -+- «,. ,;+2 l'i^-'.. k -+- • • -^"i. k-\ ^'«-f, k -I-",, 7. = , (45) 



wo nothwendig k-:>i sein muss, sonst aber /'und l- alle AVerthe von 1 bis // liat)en können. 

 Setzt man umgekehrt (39) in (44), so ergiht sich 



«,■, i- H-^', i-i-^ ai+\,k -^/>,,i+i ('i+2,k -+- ■ ■ -+-/'i.k~i "/.-!,/-(-/',,/. = ^> (46) 



mit denselben Bedingungen wie zu (45). 

 Die (41) geben für k= 1. 2,..., n: 



■^i, ■'. = l>\ "I, < f I. ? -^'Pi "2, i ! 



Ai^ i = J)^ r'i, ,• «I, , -t-p.^ ri.,_ , aj. t^...-^pi r/,-, ,- r/,. ,. 

 ^e,.» =i'| «I.,: ^O,» + -Hp, ",-. 1 «/, «• 



Die /.: ersten dieser Gleichungen multiplieiren wir mit * 



^\j., f'i.k — ^>k.k, 

 (wo auch b/,_^ = ]) und addiren. Daraus folgt wegen [4b) : 



A 1 ''''I. k -<- J,-, ■> f>2, i -t- . . . -f- - 1/, k l'k. /, = '^ , wenn k>i. (47) 



Für Ji-^-t ist dagegen 



A., i/'Li-i- vl„ , //,.. , -H . . . -H .1,-, ,■ /;,, , = j>,. (47 ) 



In der ersten dieser Gleichungen setzen wir /=--], 2,.. ., / — 1. wo also immer /.•>-/; in der zweiten 

 t = k. Dadurch erfolgt : 



