Die Laplace sehe Methode der Auagleichivig von Beobachtnngsfehlcrn etc. 49 



Dabei ist. wie aus (24) und (25) sofort folgt, l\ der mittlere Wertli eines Reobaclitiuigsfclilers bei der- 

 jenig-en I^eobaelitiiiigsmetliodc, welclie den »ten Reobaclituiigswertli li,. lieferte; und wenn k',. den mittleren 

 Wertli des Quadrates des Beobacbtungsfehlers bei derselben Methode, so ist 



hl = 1 (A-;-i?). (25) 



IV. Leider ist in den meisten Fällen die Function fr des §. 1 nicht gegeben, und wir werden desshalb 

 hier noch einige weitere Betrachtungen anknüpfen müssen, namentlich zunächst über die Bedeutung der 

 durch (77) eingefülirten Grössen g. 



Es liegt auf der Hand, dass, da über //- zu verfügen ist, die g sämmtlich als ganze (natürlich positive) 

 Zahlen angesehen werden dürfen. Sei nun einmal z. B. g,n= 1, ein andermal f;,„=?>, so ergibt sich aus (78) 

 und der Bedeutung von ri^j, ganz olfeubar, dass Alles sich jetzt so verhalte, als wenn in dem System der 

 Beobachtungsgleichungen (3) das eine Mal die mte Beobachtung nur ein-, das andere Mal aber dreimal vor- 

 käme, wobei allerdings jedesmal g„, = 1 sein müsste. 



Daraus folgt also, dass, wenn bei einer Beobachtungsweise ein gewisses g ,„ vorhanden ist, jede nach 

 derselben Weise gemachte Beobachtung den Werth von g,„ Beobachtungen hat, gemacht nacli einer Weise, 

 deren f/ gleich 1 ist. Desshalb nennen wir g^ das Gewicht der rten Beobachtungsweise (welcher li^ ent- 

 spricht). 



Die Gewichte g^ sind hiernach relative Zahlen, die h^ aber absolute. Dabei ist h der Werth letzterer 

 Zaiil bei dem Gewichte 1. Da 



gu_ _J^ 

 9-, " hl ' 



so treten hiernach die Grössen y„ als ein a])Solutes Maass der Genauigkeit der verschiedenen Beobacb- 



n,. 



tungsweisen (denen die verschiedenen /,. zukommen) auf. 



Man kann hier noch aussprechen, dass, wenn alle Beobachtungsweisen als vom Gewichte 1 (al)solutem 



Maasse der Genauigkeit ) angenommen würden, sich Alles so verhielte, als wenn die erste Beobachtung 



^,ma], ..., die ste aber ^,nial (natürlich je mit denselben Coefficienten p, A, B) vorkäme. Doch wollen wir 

 hierauf kein zu grosses Gewicht legen, da die früheren Foi-meln die Aufgabe lösen und ganz unabhängig von 

 derartigen Betrachtungen sind. 



Aber so viel ist klar, dass, wenn man den relativen W^ntli der verschiedenen Beobaclitungsweisen zum 

 Voraus irgendwie ermitteln kann (vielleicht auch nur abschätzen), man die g kennen wird, und folglich oben 

 nur noch die Grösse h zu bestimmen bliebe. Aber auch das ist für die Ermittlung der u, wenn man si(di liier- 

 auf einschränkt, nicht nötbig. Die Kenntniss der g reicht dazu völlig aus. 



V. Einen Fall wollen wir hier noch besonders betrachten, der, weil er wold in den meisten Beobach- 

 tungsweisen eintreffen wird, von W^ichtigkeit ist. Es ist dies derjenige, da die sännntlicheu /^ in §. 1 die 

 durch die Gleichung 



fr{-x)=fr{-^x) (82) 



ausgedrückte Eigenschaft haben, d. h. dass gleich grosse positive und negative Fehler gleich wahrschein- 

 iich sind. Dann ist natürlich auch 



x^ -+- Xjj = , 

 so dass wir etwa 



iCj = — ff , it'j = ^-a (83) 



setzen können, wobei zt" die äussersten Grenzen der mögliciien Beobachtungsfehler bezeichnen {a positiv). 



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