Die J^ajüaco sehe Methode der Ausrfleiclmvr^ von BenhachfniiqsfehJprn etc. 't'-l 



so dass ein völliges Zusamineiit'alleii mit (81) .stattfindet. Die hier bestinnnten u haben also alle Eigenschatten 

 der in g. G bestimmten (immer für /.-,. = ü). Natürlich wird mau sich wieder liiiten müssen, von wahrschein- 

 lichsten Werthcn der u selbst sprechen zu wollen. 



IV. Endlich mag es noch von Interesse sein, zu bemerken, das.s, wenn man die «. des §. 1 so bestimmt, 

 dass die Grösse 



^gr^l (91) 



ein Minimum wird, mau geradezu die Gleichungen (78) ci'hält, immer jedoch mit der Einschränkung, dass 

 Av=^0. Die Grösse (91) spielt in der Methode der kleinsten Quadrate eine wichtige Rolle, und es geht aus 

 dem soeben Gesagten hervor, dass die aus (78) Ijestimmten u (für /i,.) dieselben Grössen sind, wie die- 

 jenigen , welche die Methode der kleinsten Quadrate liefert. Wenn wir hier noch keineswegs auf wissen- 

 schaftlichem Wege zur Grösse (91) gelangt sind, so ist doch das vorhin Ausgesprochene schon desshalb von 

 Werth, weil sich die Bildung der Gleichungen (78) dadurch auch für das Gedächtuiss bequem formuliren 

 lässt. 



I. Es wurde im Laufe dieser Untersuchung vielfach darauf hingewiesen, dass die gefundenen Werthe 

 der Unbekannten u mit den wahrscheinlichen Werthen eben dieser Grössen nicht zu verwechseln seien. Diese 

 Frage soll nunmehr etwas genauer erörtert werden. 



Denken wir uns unter den u in (4) bestimmte Werthe, so nehmen (für die gefundenen If) die s. eben- 

 falls bestimmte Werthe an. Man kann nun fragen, welches unter den überhaupt mögliehen )Systemen der 

 Werthe der u, auf Grund der gemachten IJeobaehtungen, die grösste Wahrscheinlichkeit für sich habe. 



Wählt man ein bestimmtes System der u als das wahre, so nehmen die s in (4), wo die B beob- 

 achtet sind, bestimmte Werthe an, die sich ändern, wenn jenes System sich ändert. Will mau nun die 

 Wahrscheinlichkeit finden, welche jenes bestimmte System der u für sich hat, gerade das wahre System 

 dieser Grössen zu sein, so hat man nach einem der Fundamentalsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu- 

 nächst die theoretische Wahrscheinlichkeit zu suchen , dass unter der Annahme dieses Systems die sämmt- 

 lichen i? erhalten werden, d.h. die Werthe der £ (der Fehler) erscheinen werden , die man aus (4) findet, 

 wenn mau die gewählten u und die (beobachteten) B einsetzt. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des Systems 

 der II ist dieser so berechneten Wahrscheinlichkeit proportional (vergl. unten IV.). 



Letztere ist 



/,(g.../.(c%)<-/M---^^^- 



wo, wie mehrfach gesagt, die s,. aus (4) zu entnehmen sind. Demgemäss ist dasjenige System der u das 

 wahrscheinlichste, für welches 



./;g^)./.(0---/(0 



ein Maximum ist. 



Differenzirt man diese Grösse in Bezug auf ?«,,.-, ««, "u<^ setzt die Difrerentialquotienten Null, so er- 

 hält man folglich die zur Bestinunuug der wahrscheinlichsten Werthe der u nöthigen Gleichungen. Diesel- 

 ben sind 



1 d.t\ (m) , (0 , , 1 ^./•^(O 



2^ = 0, (92) 



wenn hier ■r=1, 2,..., n gesetzt wird [und zugleich s,. aus (4)]. Wären die /auch ihrer Form nach bekannt, 

 was man eigentlich vorauszusetzen hat, so würde doch in den seltensten Fällen dieses Gleichungssystem zur 

 wirklichen Bestimmung der u dienen können, und man würde also wieder auf eine andere Methode zurück- 

 greifen müssen. 



