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VI. 



erhält. Es entsprechen demnacli einem Wertlie von x alle möglichen Werthe von w, und 

 umgekehrt: so dass man im Allgemeinen ?fj weder als Function von .t, noch x als Function 

 von u^ betrachten darf. 



Nimmt man aber noch ein zweites ähnlich gebautes Integral 



(a'+ß'ic) dx 



.= f 



^x{_l—x) (l-x^ic) (l—^x) (l-fJ-'x)^ 



das mit dem vorigen in keiner linearen Relation steht (so dass tu = mui -f 7i wäre) und setzt 

 lest, dass der Integrationsweg von Mj derselbe, wie der von u^: so ist, wenn der Werth von u^ 

 und von x einmal festgesetzt, dadurch auch der Werth von u.^ eindeutig bestimmt. Wir 



können also setzen: 



und ebenso: 



"l —fl («2 I ■^-) 



woyi,y'., einwerthige P\uietionen bezeichnen, die darum keinen analytischen Ausdruck zu 

 haben brauchen, sondern eine gleichsam nur ta,bellarische Bedeutung behaupten. Daraus wird 

 sieh dann ero-eben: 



ö 



X = ^ («1 I M.). 



Den Charakter dieser Function zu untersuchen, ist das vorgelegte Problem, und zumal 

 den der fünf Functionen: 



Vx , V 1 — X , V 1 — x'x , V 1 — ■}:rx , V 1 — fx^x, 



die ich speciell ultraelliptische nenne, weil sie in dieser Classe von Transcendenten eine 

 ebenso einfache Rolle spielen, wie die elliptischen Functionen bei der vorigen, und die 

 übrio-en sich leicht durch diese fünf ausdrücken lassen. Zur Discussion dieser F^ormen bediene 

 ich mich der anschaulichen Methode meines hochverehrten Lehrers Riemanu , niedergelegt 

 in seiner „Theorie der Abel'schen Functionen"') zumal aber in seiner Inaugural-Dissertation: 

 „Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen 

 Grösse." Göttingen 1851 bei Huth. Sollte es mir gelingen, durch diese Arbeit die Bekannt- 

 schaft mit der Riemann'schen Theorie für weitere Kreise zu vermitteln und zum Studium 

 derselben anzuregen, so würde ich dies als das schönste Resultat meiner Arbeit bctracliten. 



') Grelle, Band 54, auch als Soparatabdruck aus demselben erschienen, Berlin bei Beimer. 



