Neue Theorie der ultraelliptischen Functionen. 



ERSTER THEIL. 



Graphik des Problems. 



§• 1- 



Die Form der Gleichung niedrigsten Grades, die auf ultraelliptische Integrale führt, ist, 

 wenn wir die höchste vorkommende Potenz der Variablen durch eingeklammerte Indices 

 bezeichnen, 



F{f\ «t'') = «0*' + 2«!« + «., = 



wo «0, «I, «2 rationale ganze Functionen des dritten Grades von z sind, und zwischen den 

 Constanten Coefficienten in diesen Functionen keinerlei Relationen bestehen. Ein immer end- 

 lich bleibendes Integral, auch Abel'sches Integral der ersten Gattung genannt, hat dann die 

 Form: 



^{A-^Bz) dz __ r (A+Bz) dz _ r- (Ä+Bz)dz 



W := 



WO die sechs Wurzeln «j . . . otg nothwendig verschieden sein müssen. Wir bemerken sofort, dass 

 man zu einem Integrale immer unendlich viele davon iinearunabhängige finden kann indem 

 der Zähler zwei willkürliche Constante enthält. Jedes beliebige dritte ist dann durch je zwei 

 von solcher Beschaffenheit linear ausdrückbar. Es ist leicht den letzten Ausdruck in eine 

 elegante Form zu transformiren, die wir die canonische nennen wollen, indem wir* durch 

 eine lineare Substitution eine neue Variable einführen. Wir setzen nämlich 



X = . 



dann ist für 



s = ßj : X = 



und es sei für 



dann erhält das so transformirte Integral die Form 



(a.-\-ßx) dx 



W = 



y X (l—x) (1 — xvf) (1— /-o;) (i—irx) 



