4 Friedricli Prym. 



wobei die Grössen x, X^ fi ganz beliebige Werthe liaben mögen. Für die Graphik des Pro- 

 blems setzen wir aber die Grössen et, ß, x", }? , /r reell und positiv voraus und die drei letzten 

 so dass 1 > x^ > -^^ > //, da dadurch die Anschauung bedeutend erleichtert, die Allgemein- 

 heit der analytischen Eesultate aber keineswegs beeinträchtigt wird. 



§• 2. 

 Um dem Probleme die möglichste Allgemeinheit zu geben, gestatten wir der Variablen x 

 alle reellen und complexen Werthe anzunehmen. Wir repräsentiren sie nach der Gauss'schen 

 Weise in ihrem ganzen Umfange durch die Punkte einer unendlichen Ebene derart, dass dem 

 Werthe 



X = y -\- zi 



der Punkt entspricht, dessen Coordinaten auf ein durch den Nullpunkt gelegtes rechtwinke- 

 liges Coordinatensystem bezogen y und z sind. Statt dessen können wir auch schreiben 



X = ?-e*'' 



dann bezeichnet ?• den vom Anfangspunkte nach dem Punkte x gezogenen Leitstrahl und cp den 

 Winkel, den derselbe mit der F-Axe bildet. Wir machen ferner die Voraussetzung, dass dem 

 Werthe x = oo auch nur ein Punkt entspricht; mit anderen Worten, wir denken uns die 

 Ebene im Unendlichen geschlossen, oder wie eine Kugel mit dem Radius C5o. 



Betrachten wir nun die unter dem Integralzeichen vorkommende algebraische Function 



s = Vx (1 — x) (1 — x^a;) (1 — X'x) (1 — jjl'x) = V {x, x, X, /jl) 



so hat diese Function in der A'-Ebene für jeden Punkt zwei entgegengesetzte Werthe. Wenn 

 man von einem festen Punkte cTq ^"s, für den man einen der beiden Werthe ± *o angenommen 

 hat, zu einem beliebigen Punkte x gebt, so wird man den Weg immer so einrichten können, 

 dass man durch stetige Fortsetzung der Function s von dem Anfangswerthe s^ aus sowohl den 

 positiven als den negativen Werth im Punkte x erhält; man braucht nur um einen der Punkte 



Oj 1, — , — , -^, oo herumzugehen, in denen die beiden Zweige der Function zusammenfallen. 



und die wir aus dem Grunde „Verzweigungspunkte" neimeii. Cauchy hat dafür den Namen 

 ,.points critiques"; in ihnen hört nach seinem Ausdrucke die Function auf „monodrome" 

 zu sein. 



Man erkennt hieraus, dass man bei der Untersuchung algebraischer Functionen beständig 

 vom Wege abhängig ist, so lange man in einer Ebene operirt; und es fragt sich, ob nicht 

 eine Methode angebbar, um sich davon zu befreien? Dieses Problem hat Riemann zuerst 

 allgemein gelöst durch seine mehrblättrigen Flächen und Verzweigungsschiiitte. In unserm 

 vorliegenden Falle denken wir uns nämlich über die A'-Ebene zwei neue Ebeuenbiätter aus- 

 gebreitet, wie sie selbst unendlich und geschlossen, und markiren in beiden die Verzwei- 

 gungspunkte. Wir bestimmen dann die Function s einwerthig im obern Blatte durch stetige 

 Fortsetzung von einem bestimuiton Anfangswerthe s^, aus: in Folge dessen muss sie längs 

 gewissen Linien unstetig werden, denn verbindet man zwei beliebige Verzweiguugspuukte 

 z. B. und 1 durch eine Linie, und ist in einem Punkte auf der linken Seite dieser Linie 

 (man steht in der I'-Axe und sieht nach der positiven Seite) der Werth der Function (-{- i). 



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