Neue Tlieorie der idtr aelliptischen Functionen. 5 



so ist er in dem entsprechenden Punkte auf der rechten Seite ( — s), da die Function durch 

 Umlauf um einen einfachen Verzweigungspunkt, wie bekannt, den Factor ( — 1) erhält. Ver- 

 binden wir ebenso — und — , -^ und oo durch Linien, und setzen fest, dass die Function 



diese Linien nicht überschreiten soll, so ist sie, da dadurch der Umlauf um jeden der sechs 

 Verzweigungspunkte gehindert wird, in der obern Fläche einwerthig aber nicht mehr stetig, 

 denn zu beiden Seiten der Linien hat sie entgegengesetzte Werthe. Wir setzen dann fest, dass 

 im untern Blatte dem Punkte x immer der andere Werth von s entsprechen soll, entgegen- 

 gesetzt dem, den die Function im obern Blatte hat; sie ist dann auch im untern Blatte einwer- 

 thig bestimmt und wird längs derselben Linien unstetig. Diese Doppelfläche repräsentirt uns 

 also einwerthig alle Werthe von *; zu jedem x gehören zwei Punkte: {s, x) in der obern und 

 ( — «, x) in der untern Fläche, entsprechend den beiden Werthen der Function im Punkte x. 



Da man nun aber analytisch durch den Umlauf um die Verzweigungspunkte vom 

 Punkte x aus bis wieder zu ihm zurück die Function s in stetiger Fortsetzung zu dem ent- 

 gegengesetzten Werthe an demselben Punkte x führen kann, dies aber graphisch nichts 

 anders heisst, als man kommt aus einem Blatte in das andere, indem für jedes Blatt die Func- 

 tion einwerthig bestimmt sein soll, so folgt daraus, dass die beiden Blätter an gewissen Stellen 

 zusammenhängen, d. h. in einander übergehen müssen, wenn anders die graphische Reprä- 

 sentation mit der analytischen Anschauung zusammenfallen soll. Es ist bekannt , dass , wenn 

 man die Function s um einen einfachen Verzweigungswei'th herumführt, man am Ausgangs- 

 punkte zu dem entgegengesetzten Werthe kommen muss; geht man noch einmal herum, so 

 kommt man wieder zu dem ursprünglichen Werthe. Geht man um zwei Verzweigungswerthe 

 herum bis wieder zu demselben Punkte x, so ist der Werth von s wieder derselbe. Dies erreichen 

 wir, wenn wir die beiden Blätter längs der drei Unstetigkeitslinien durchschneiden und so 

 zusammensetzen, dass links unten ( — s) mit rechts oben ( — .s) und rechts unten {-\- s) mit links 

 oben (-f s) zusammenhängt, dass also in diesen Schnitten die Flächen sich durch einander 

 durchsetzen. Fig. 1 zeigt uns dann den Verlauf einer beliebigen in dieser zusammenhan- 

 genden Doppelfläche gezogenen Linie, wobei die im untern Blatte verlaufenden Stücke der 

 bessern Anschaulichkeit wegen punktirt sind. Die Function s ist nun in der ganzen Fläche, 

 die wir T" nennen wollen, und die ihre Verzweigungsart darstellt, einwerthig und stetig, 

 denn durch die Zusammensetzung der beiden Blatter sind die Unstetigkeiten gegenseitig 

 aufgehoben worden; sie kann demnach als eine völlig bestimmte stetige Function des 

 Ortes in dieser Fläche angesehen werden. — Man sieht leicht, dass diese Fläche voll- 

 ständig die analytische Eigenschaft der Function s repräsentirt. Ziehen wir in der obern 

 Fläche eine Linie um die Punkte — 1, so geht diese nicht in die untere Fläche über: man 

 erhält also für den Werth x wieder denselben Werth ä, von dem man ausging; ebenso ist e.s, 



wenn man um die Punkte 1 und — herumgeht: man kommt dann beim Überschreiten von 



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— 1 in die untere Fläche, bleibt darin bis zum Schnitte -, kommt durch Überschreiten 



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dieses wieder in die obere Fläche, also an demselben Punkte x wieder zum ursprünglichen 

 Werthe von .?, wie es ja analytisch verlangt wurde. Geht man nur um einen Verzwei- 

 gungspunkt herum, so kommt man ersichtlich zu dem Punkte x im andern Blatte, also zu dem 

 entgegengesetzten Werthe von s, da man dann eine der Verzweigungslinien nur einmal 

 schneidet; geht man noch einmal herum, so schneidet man zum zweiten Male, kommt also 



