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wieder in das erste Blatt zum ursprünglichen WertLe. Es ist übrigens, wie man bemerken 

 kann, ganz beliebig, welche von den Verzweigungspunkten man zu je zweien verbindet; das 

 leitende Princip ist nur, die Zerschneiduug so einzurichten, dass man in der Fläche durch 

 Umlauf um eine gerade Anzahl von Verzweigungspunkten zu demselben Werthe von s, durch 

 Umlauf um eine ungerade Anzahl zu dem entgegengesetzten Werthe kommt. Für unsere Unter- 

 suchung halten wir die gemachte Zerschneidung als die einfachste fest, ziehen die Schnittlinien 



gerade und nennen die Punkte — 1, -^ — t, , — ^ — oo conjugirte Verzweigungspunkte. 



X" Au, 



§. 3. 

 Jede aus s und x rational zusammengesetzte Function /" (.s, x) ist nun auch in der Fläche 

 T einwerthig und stetig (d. h. nicht längs einer Linie unstetig), da s und x es darin sind; wir 

 nennen sie gleichverzweigt. Umgekehrt lässt sich leicht zeigen, dass, wenn eine Function ein- 

 werthig und stetig in T, also gleichverzweigt ist, sie sich rational durch 6- und x ausdrücken 

 lässt. Alle diese Functionen haben die Eigenschaft in ebenso vielen Punkten der Fläche T 

 unendlich gross als unendlich klein von der ersten Ordnung zu werden, und durch die Punkte, 

 wo sie unendlich gross werden, sind sie bis auf Constante bestimmt. Wir nennen dabei eine 

 Function unendlich klein von der ersten Ordnung im Punkte a (und bezeichnen dies durch 0'), 

 wenn ihr Logarithmus bei einem linksherumgehenden Umlaufe der Variablen um ein diesen 

 Punkt umgebendes sehr kleines Flächenstück, in dem keine weitern 0' oder oo' Punkte der 

 Function liegen, um 2to wächst. Ist also der Punkt a kein Verzweigungspunkt, so ist (;r — a)^ 0^; 

 ist dagegen a ein Verzweigungspunkt, so ist (x — «,)'''== 0* in diesem Punkte, denn dann muss 

 man, um das ganze den Punkt a in unmittelbarer Nähe begrenzende Flächenstück einzuschliessen, 

 zwei Umläufe machen und dadurch würde log [x — a) um 4to wachsen. Demnach wird Vi — -a^x 

 im Punkte a; ^ -^ : 0\ also 1 — v^x dort unendlich klein von der zweiten Ordnung. Dies ergiebt 



sich auch leicht, wenn man bedenkt, dass in einem Verzweigungspunkte zwei Punkte der 

 Fläche T zusammenfallen, (x — a) wird in zwei Punkten 0\ von denen der eine im obern, der 

 andere im untern Blatte liegt ; wird nun a ein Verzweigungspunkt, so fallen die beiden Nullpunkte 

 aufeinander, {x — a) wird dann in einem Punkte unendlich klein von der zweiten Ordnung. Für 



den Unendlichkeitspunkt ist — = 0', wenn im Unendlichen kein Verzweigungspunkt liegt, da 



■* . IL 



aberbeiderFläche TderPunktic = oo einVerzweigungsp unkt, so wird dort — ;- = 0', x^^oo^'.x 



wird also in diesem Punkte unendlich gross von der zweiten Ordnung. Demnach wird eine 



ganze Function von x vom «"'" Grade f[x^"^) für a; = oo : oo"", folglich auch für 2;«-Punkte 



0' : sie wird nämlich für ?« -Werthe von x gleich 0, und jedem x entsprechen im Allgemeinen 



zwei Punkte der Fläche; 5 = V (.r, x, ?,, jx) wird für a; = 00 : oc"' und für die fünf im Endlichen 



liegenden Verzweigungspunkte 0\ Bei diesen Untersuchungen wird immer ein Punkt, wo die 



Function von einer höhern Ordnung unendlich oross oder klein wird, ebenso vielen einfachen 



C5o' und 0' Punkten gleich geachtet. Eine solche wie T verzweigte Function lässt sich um einen 



Punkt a herum, für den sie nicht 00 wird, nach steigenden Potenzen von {x — a) entwickeln, 



wenn derselbe keiner der fünf endlichen Verzweigungspunkte ist; für diese nach steigenden 



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 Potenzen von [x — a)-. Um den Unendlichkeitspunkt der Fläclie T lässt sie sich, wenn sie dort 



cndlicli bleibt, nach steigenden Potenzen von - _- entwicklen , da derselbe auch ein Verzwei- 

 gungspunkt ist. •*'' 



