Neue Theorie der ultraelUptischen Functionen. 7 



Der allgemeinste Ausdruck einer wie die Fläche T verzweigten Function, der sich also 

 rational aus s und x zusammensetzt, ist nun, da ä" eine rationale Function von x, 



wo ^0 5 ßoi -^\i ^i ganze rationale Functionen beliebigen Grades von x sind. Es wird uns für 

 die Folge nützlich sein, zu untersuchen, wann und wie wir diesen Ausdruck so bestimmen 

 können, dass er für beliebig zu w^ählende Punkte oo wird, und wie von diesen die PunktOj wo 

 er dann wird , abhängig sind. Um gleich den allgemeinsten Fall dieser Bestimmung zu 

 betrachten, nehmen wir an, dass für .x' = oo, -s = oo der Ausdruck F einen willkürlichen 

 Werth habe; dann müssen die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner dieselben sein, und 

 i^wird nur oo, wenn der Nenner verschwindet, nur 0, wenn der Zähler verschwindet. Wir 

 können in F zwei Formen unterscheiden (die uns beide dasselbe Resultat liefern werden), je 

 nachdem Zähler und Nenner für a; = oo von einer geraden oder ungeraden Ordnung oo werden. 

 Sei also 



wo die eingeklammerten Indices jedesmal die höchste vorkommende Potenz der Variableu 

 bezeichnen, und sei 



2n > 2m + 5 



2n > 2to, + 5 



dann werden Zähler und Nenner für a; = oo : unendlich von der Ordnung 2n, folglich auch 

 für 2?i Punkte unendlich klein von der ersten Ordnung. Wir können die Constanten des 

 Nenners so bestimmen , dass er für p beliebig zu wählende Punkte 0' wird , wo p natürlich 

 nicht grösser als die Anzahl der Constanten im Nenner sein darf; dann wird er ausserdem 

 noch für 2?i — p Punkte 0\ Der Zähler des Ausdrucks F^ enthält n -f '^^ + 1 unabhängige 

 Constante; bestimmen wir diese so, dass der Zähler auch für die 2n — p Punkte verschwindet, 

 wie der Nenner, so bleiben noch 



(n-j-m-f 1) — (2n — p) = p -{- m — m -f 1 



Constante willkürlich. Nehmen wir tn so gross, als die Relation 2?? > 2ot -f- 5 es erlaubt, so 

 wird m — « = — 3 : und p -\- m — n -{- 1 ^ p — 2. Wir haben so eine Function gewonnen, 

 die für p beliebig zu wählende Punkte oo' wird, indem für 2n — p Punkte Zähler und Nenner 

 gleichzeitig 0' werden, und die im Zähler p — 2 willkürliche Constante enthält. Die zweite Form : 



^"■^ " foi^^"''') + ?i (a;W) . s 



wo 



2m < 2wi + 5 



2«, < 2m 4- 5 



wird für 2m + 5 Punkte oo' und 0'. Wir bestimmen den Nenner des Ausdrucks so, dass er 

 für p beliebig festzusetzende Punkte 0' wird, und die « -j- m + 1 Constanten des Zählers so. 



