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dass er für die 2m +5 — p Punkte, für die der Nenner noch verschwindet, auch verschwindet; 

 dann bleiben 



(?2 + ??2 + 1) — (2?rt+ 5 — p) = p + w — m — 4 



Constante willkürlich. Nehmen war n möglichst gross, so wird n — w == 2 : mid 

 Ol -}- n — m — 4 = p — 2 , wie im ersten Falle. 



Wir können also, w^enn p>2, den Ausdruck i^ immer so bestimmen in seinen Constanten, 

 dass er für p ganz beliebig zu wählende Punkte der Fläche Too' wird. Von den p-Punkten, 

 für die er dann 0' wird, können wir p — 2 beliebig wählen, da der Zähler p — 2 unabhängige 

 willkürliche Constante enthält, von denen er eine lineare Function ist. 



Ist aber p = 2, so enthält der Zähler keine willkürliche Constante mehr, d. h. er ist 

 vollkommen bestimmt dadurch, dass er für die Punkte verschwindet, für die ausser den p 

 noch der Nenner verschwindet. Er kann sich folglich von dem Nenner nur um eine multipli- 

 cative Constante unterscheiden, und i^ selbst ward eine Constante. Es giebt also keine wie T 

 verzweigte Functionen, die für zwei beliebig zu wählende Punkte der Fläche oo' werden. 

 Nur wenn die beiden Punkte demselben Werthe x entsprechen, existiren solche Functionen 

 und ihr allgemeinster Ausdruck ist 



m -\- nx 



m' -\- nx ' 



sie werden in zwei wie (.?, x) und ( — s, x) über einander liegenden Punkten oo' und in zwei 

 ebenso gelegenen von den ersteren unabhängigen 0'. Dass es endlich keine wie T verzweigte 

 Functionen giebt, die nur für einen Punkt oo* und 0' werden, ist klar, denn dann enthielte F 

 eine negative Anzahl von Constanten, was keinen Sinn hat. 



§. 4. 



In der Fläche T betrachten wir jetzt die Integralfunction 



{a.-\-^x)dx 



u 



V Vx(l-. 



{l—x) (l-x'o;) [l—Vx) {l—l>.-x) 



Die unter dem Integralzeichen stehende Function hat in der Fläche allenthalben einen 

 bestimmten Werth und ändert sich stetig; sie wird unendlich für die fünf im Endliehen liegen- 



C C 



den Verzweigungspunkte wie lim : für .r = co wird sie Avie lim — -. Die Integral- 



x = a[x — «) -5- x = ooa; — 



function bleibt demnach allenthalben in der Fläche endlich; sie ist ein immer endlich bleiben- 

 des Integral. Gehen wir von dem Anfangspunkte der Integration, den wir einstweilen als 

 nehmen wollen, zu einem Punkte x.s der Fläche, so wird bekanntlich das Integral einen ver- 

 schiedenen Werth erhalten, je nach dem Wege, den wir die Integrationscurve durchlaufen 

 lassen. Liegt z. B. der Punkt x^s in dem obern Blatte, so kann man die Integrationscurve 

 ganz in demselben verlaufen lassen oder auch tlieilweise in dem untern; man kann ein oder 

 mehrere Male um conjugirte Verzweigungspunkte gehen etc. und jedesmal wird die Integral- 

 function im Punkte x,s einen von den frühern verschiedenen Werth erhalten. Es ist aus der 

 allgemeinen Theorie bekannt, dass zu einem Werthe von x unzählige Werthe von u gehören; 



