Neue Theorie der ultraelliptischen Functionen. 9 



es findet dies analog schon bei den einfacheren Integralen, den elliptischen und circularen. 

 Statt. Es fragt sich, ob wir uns bei dieser Classe von Functionen nicht auch vom Wege unab- 

 hängig machen können , wie es uns mit den algebraischen E\inctionen in dem vorigen Para- 

 graphen gelungen ist. Dieselbe Methode wie vorher können wir natürlich nicht anwenden, denn 

 wir müssten dann, da die Integralfunction unendlich viele Zweige hat, die Fläche Tnoch mit 

 unendlich vielen Blättern bedecken, so dass in jedem Blatte ein Zweig der Function läge. Allein 

 das eigenthümliche Verhältniss der Zweige zu einander, was wir bald näher feststellen werden, 

 gestattet, einen Zweig durch passend angebrachte Linien (Querschnitte) von den übrigen zu 

 trennen und für sich in der Ausdehnung der ganzen Fläche zu betrachten. Wir verdanken 

 Kiemann auch diese sinnreiche graphische Metliode; sie ist eine natürliche Folge des 

 bekannten Cardilialsatzes über die Integration durch das Imaginäre, von dem wir hier aus- 

 gehen wollen. Er lautet: 



„Ist in einer die AT-Ebene einfach oder mehrfach bedeckenden Fläche w eine einwerthige 

 stetige Function des Ortes von x, so hat/^o . dx durch eine geschlossene Curve ausgedehnt, 



innerhalb deren io nicht unendlich wird wie lim , den Werth 0, ■wenn die Curve die 



ganze Begrenzung eines Theiles der Fläche ausmacht." 



Der Beweis dieses Satzes von Cauchy'j ist nicht allgemein genug, da er für eine Ebene 

 geführt ist und in Folge dessen innerhalb des betreffenden Flächentheils keine Verzweigungs- 

 punkte liegen dürfen; wir geben desshalb in Kürze den von Riemann, der sich in etwas 

 anderer Weise in seiner Dissertation (Seite 9 u. ff.) findet. Es war x ^=^ y -f s/, und es mögen 

 y und Z zwei einwerthige Functionen des Ortes ?/, z bezeichnen, die in dem betrachteten Theile 

 der Fläche sammt ihren Derivirten endlich bleiben ; wir ziehen dann eine geschlossene Curve 

 die einen Theil der Fläche vollständig begrenzt, und dehnen das Integral 



m~^"-'' 



über die ganze von der Curve umschlossene Fläche aus. Durch Integration des ersten Theiles 

 nach ?/, des zweiten nach z findet man leicht, dass der Werth des Flächenintegrals gleich ist. 



dem Werthe des CurA'enintegrals 



J(Z.d.z -\- Y.dy) 



über die ganze Begrenzung in positiver Richtung erstreckt. Hierbei sind dy^ dz zum Unter. 

 schiede von 8_?/, 83 die Änderungen von y und z, die entstehen, wenn man in der Begrenzung 

 von einem Punkte zu einem benachbarten übergeht. Unter positiver Richtung beim Durch- 

 laufen verstehen wir diejenige, bei der man den Flächentheil, den die Curve begrenzt, immer 

 auf der linken Seite liegen hat. Wir setzen Y = iv , Z = wi, und sei lo =f{x) =f{y + si), 

 so dass i — = — ; so folgt, wenn wir diese Werthe in die gefundene Gleichung einsetzen, 



J) Comptes reiidus de l'Arademie des Sciences 1846. 



Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. XXIV. Bd. Alihandl. von Nuhtmitgliedern. 



