10 Friedrich Prym. 



8?c S 



Ein iedes Element des ersten Integrals yerscli windet, weil die Gleichung i- = 



•^ oy oz 



für jeden Punkt des betrachteten Flächentheiles gilt, indem durch die Bestimmung, dass die 

 Derivirten endlieh sein sollen, die linke Seite nie unter der unbestimmten Form c» — oo 

 erscheinen kann : für diesen Fall ist also 



/ 



IC 



. dx = 0. 



Aus diesem Falle ergiebt sich sofort der allgemeinere, wo innerhalb des begrenzten Flä- 

 chenstückes Punkte a liegen, für die ?o oder -—- unendlich werden. Der Werth des obigen lute- 



ox 



grals ist alsdann gleich der Summe der Integrale / m; . (Zx in kleinen Kreisen iind in positiver 

 Riehtuno- um die Punkte a erstreckt, da wir vermöge des bewiesenen Falles alle die Flächen- 



theile ausscheiden können, für die w und-— endlich sind, indem das Integral jic.dx um sie 



herum erstreckt den Werth hat. Für einen solchen Punkt a hat nun lo nothwendig den 

 Charakter einer Function Sc,„(cc — «)'", wo die ra <C 1 sind, denn man kann immer die Con- 



stauten c und m so bestimmen, dass w — '^c.„X^ — «)'" und ^c,„ni (x — rt)"'~Mn dem betref- 



ox 



fenden Punkte a den Werth haben, da w als einwerthige Function des Ortes nur algebraisch, 

 nicht logarithmisch unendlich werden soll. Ist a kein Yerzweigungspuukt, so müssen die m 

 negative ganze Zahlen sein (m = betrachten wir sowohl als negative, wie als positive ganze 

 Zahl), denn sonst wäre w nicht einwerthig in der Fläche, wenn einige m Brüche wären; 

 integrirt man in einem kleinen Kreise um einen solchen Punkt herum, indem man 



X — rt = 7'e'^', dx = re'^' . tZcp . i 

 setzt, so resultirt für das allgemeine Glied der obigen Summe: 



r c.dx c r^''- d'^.i 



J (x — ay r'~\' e'"-'^f 







und dieser Ausdruck ist, da n eine positive ganze Zahl sein soll, immer 0, ausser wenn n^l: 



/c . dx 

 — — . Ist dagegen a ein v-facher Verzweigungspunkt, um den 

 x~a 



herum also v-Blätter der Fläche zusammenhangend sich winden, so können einige m auch 

 gebrochene Zahlen sein, und sie lassen sich dann, da ro einwerthig in der Fläche sein soll, alle 



nothwendig in die Form — bringen, wo |j. eine positive oder negative ganze Zahl. Um einen 

 solchen v-fachen Verzweigungspunkt vollständig abzugrenzen, müssen Avir v-ümläufe um üin 

 machen, in jedem Blatte einen; dann folgt 



/•2-r 



r: (x — a) ■' dx = er ' / e ' '' . f/'f . i 



fc.dx 

 und dieser Ausdruck ist immer 0, ausser wenn |ji -f- v = : dann ist sein Werth c. v . 27:? = 1 _ 



für den v-fachen Verzweigungspunkt a. Somit ist der aufgestellte Satz in seiner ganzen Allge- 

 meinheit bewiesen und er lässt sich auch folgen derraassen aussprechen: 



