' Neue TJieorie de?- idtraelUptiscTien Functionen. 11 



»Ist ?c in einer ein- oder mehrblättrigen Fläche eine einwerthige und stetige Function 

 des Ortes von a-, die für keinen Punkt unendlich wird wie lim — ^ — (zu welchen Functionen — 

 auch gehört), so hat fio.dx auf zwei verschiedenen Wegen zwischen zwei beliebigen festen 

 Punkten erstreckt immer denselben Werth, wenn diese beiden Wege zusammengenommen 

 die ganze Begrenzung eines Theiles der Fläche ausmachen.- Denn es ist nach dem bewiese- 

 nen Lehrsatze unter den festgesetzten Bedingungen (s. Fig, 1"): 



daher auch: 



/ IC . dx (über d) -f- / w .dx (über a") = 0, 

 w .dx (über «') = / lo .dx (über «"). 



Dieser Cardinalsatz giebt uns ein Mittel zur Classification solcher Flächen , die die A'er- 

 zweigung algebraischer Functionen repräsentiren. Wir nennen eine Fläche einfach zusam- 

 menhangend, wenn eine jede in ihr gezogene in sieh zurücklaufende Curve die ganze 

 Begrenzung eines Stückes der Fläche ausmacht, durch sie die Fläche also in getrennte 

 Theile zerlegt wird. Eine solche ist z. B. jede unendliche Ebene; zieht man in iiir eine 

 geschlossene Curve, so wird dadurch gleichsam ein Stück aus ihr herausgeschnitten. Anders 

 verhält es sich bei mehrblättrigen Flächen, wozu unsere T gehört. Ziehen wir z. H, um die 

 eonjugirten Verzweigungspunkte — 1 im obern Blatte eine geschlossene Curve, so Avird 

 die Fläche keineswegs in getrennte Theile zerspalten, eben weil man durch die Verzweigungs- 

 schnitte gehend von der Innern Seite der Curve zur äussern kommen kann. Eine solche Fläche 

 heisst mehrfach zusammenhangend; sie heisst (« + l)-fach zusammenhangend, wenn man 

 sie durch ein System von n geschlossenen Linien, die wir Querschnitte nennen wollen, und 

 die ihre Begrenzung bilden, in eine einfach zusammenhangende zerlegen kann. Das Gesagte 

 wird in dem Folgenden klare und anschauliche Gestalt gewinnen. 



In unserer Fläche T hat nach dem ausgesprochenen Lehrsatze die lutegralfunction u 



(die nirgendwo logarithmisch unendlich wird, da in keinem Punkte — unendlich wie lim ) 



dx X = a X — a 



von einem festen Anfangspunkte bis zu einem Punkte x.s auf einem Wege erstreckt nur dann 

 denselben Werth wie auf einem andern, wenn beide Wege zusammen die ganze Begren- 

 zung eines Theiles der Fläche ausmachen. AYäre die Fläche T einfach zusammenhangend, 

 so würde dies immer der Fall sein . und der Werth des Integrals wäre alsdann von dem Inte- 

 grationswege vollkommen unabhängig. Wir zerlegen also durch Querschnitte die mehrfach 

 zusammenhangende Fläche T in eine einfach zusammenhangende T'; dies kann auf die ver- 

 schiedenste Weise geschehen, immer aber ist die Anzahl der Querschnitte dieselbe, wie wir 

 weiter unten seilen werden. 



Die vorliegende Fläche T hat keinerlei Begrenzung, da wir sie als ein System zweier 

 im Unendlichen geschlossener Ebenen auffassen, die längs den Verzweigungsschnitten zusam- 

 menhängen. Wir ziehen eine beliebige geschlossene Curve im obern Blatte, durch die die 

 Fläche nicht in o-etrennte Theile zerleo-t wird, z. B. um die coiiiuoirten Verzweio'uni;spunkte 

 — 1 (siehe Fig. 2), und betrachten ihre beiden Seiten als zur Begrenzung gehörig; 



