12 Friedrich Prijin. 



dann besteht die Begrenzung aus zwei getrennten Linien, nämlich der innern und der äussern 

 Seite der Curve. Die weitere Zerlegung der Fläche geschieht dann so, dass jeder folgende 

 Schnitt von einem Punkte eines frühem nach demselben Punkte auf der andern Seite geht, 

 oder in sich selbst zurückläuft, wenn in dem frühem schon ein anderer Schnitt mündet; dies 

 wird so lange fortgesetzt wie möglich, bis die Fläche in eine einfach zusammenhangende 

 zerlegt ist. Wir gehen folglich von einem Punkte ä auf der innern Seite des Querschnittes I 

 aus, kommen durch den Verzweigungssehnitt — 1 in die untere Fläche und durch den Yer- 



zweigungsschnitt -^ — — - wieder in die obere bis zum Punkte ä auf der äussern Seite: wobei 



wir, und auch in der Folge, die im untern Blatte liegenden Theile der Querschnitte punktircn. 

 Durch diesen Querschnitt II, dessen beide Seiten wir als zur Begrenzung gehörig betraihten, 

 sind nun die beiden getrennten Begrenzungen, die durch den Querschnitt I gebildet wurden, 

 verbunden, und die Begrenzung der Fläche besteht aus einem Stücke. Die Fläche ist aber noch 

 nicht einfach zusammenhangend, wir ziehen desshalb einen Querschnitt III von einem Punkte 



des Querschnittes II im obern Blatte aus um die Yerzweiuungsimnkte - und - und lassen 



ihn in einem seiner früheren Puidcte enden. Die Begrenzung besteht wieder aus zwei getrenn- 

 ten Theilen, nämlich der innern Seite des Querschnittes III und der äussern, welche letztere 

 mit den beiden Seiten des vorigen Querschnittpaares eine in sich zurücklaufende Curve bildet. 

 Verbinden wir nun noch diese getrennten Theile durch einen Querschnitt IV, der um die con- 



jugirten Verzweigungspunkte — — oo gehend von einem Punkte b der innern Seite des Quer- 



Schnittes III zum entsprechenden Punkte auf der äussern Seite gezogen ist, so besteht die 

 Begrenzung aus einem zusammenhangenden Stücke, und die dadurch begrenzte Fläche 7, die 

 wir als solche T nennen wollen, ist einfach zusammenhangend, denn man kann keine, die 

 Begrenzung natürlich nicht schneidende, geschlossene Curve mehr ziehen, durch die die 

 Fläche T nicht in getrennte Theile zerlegt wird. Da unsere Fläche T durch vier Querschnitte 

 in eine einfach zusammenhangende T zerlegbar, so war sie demnach fünffach zusammen- 

 hangend. Wie schon bemerkt, haben die Querschnitte eine ganz willkürliche Gestalt und eben so 

 die Punkte, wo zwei Querschnitte in einander münden, wie z. B. a, eine ganz beliebige Lage. 

 Jede Seite eines Querschnittes dient dem re.sp. anliegenden Theile der Fläche als Begrenzung, 

 und diese wird positiv durchlaufen (welche Ptichtung in Fig. 2 die Pfeile andeuten), wenn wir 

 dabei die von ihr begrenzte Fläche immer auf der linken Seite haben. 



§. 5. 



Nachdem wir so unsere vorgelegte Fläche T, indem wir ihr eine Begrenzung gaben, in 

 eine einfach zusammenhangende 2" zerlegt, deren Kriterium darin besteht, dass wenn man in 

 ihr auf zwei verschiedenen Wegen von einem Punkte zum andern geht, diese beiden zusani- 

 mengenommen immer die ganze Begrenzung eines Theiles der Fläche bilden: können wir den 

 Lehrsatz, von dem wir ausgingen, anwenden, und es folgt daraus, dass unser Integral u 

 zwischen zwei festen Endpunkten in der Fläche T' beliebig erstreckt immer ein und dciiselben 

 Werth hat; es ist daher in der Ausdehnung der ganzen Fläche T' eine einwerthige endliche 

 und stetige Function des Ortes, d. h. unabhängig von dem Integrationswege, der selbstver- 

 ständlich die Begrenzung von 7" nicht schneiden darf. Eine weitere Frage ist jetzt, wie sich 

 die AVerthe der so allenthalben in T' bestimmten Function u zu beiden Seiten der Querschnitte 



