Xeuc Tiicorie der ultraellipti.scheu FanrfioneJi. 1 3 



Torlmlten, oder, um einfacher zu reden, wie sieh die Function u beim Überschreiten der ftuer- 

 schnitte ändert? Um dies zu untersuchen, müssen wir eine positive und negative Seite unter- 

 scheiden, und wir nelimen für die Folg-e bei allen Querschnitten die innere als die positive, die 

 äussere als die negative an. Wir bezeichnen die Querschnitte der Reihe nach vtui links nach 

 rechts mit «i, 6] : a.^, b.,] dann münden a, , 6, so wie c?,, , b., in einander resp. in den Punkten ä 

 und b. Jeden dieser beiden Mündungspunkte wollen wir vierfach bezeichnen, je nachdem wir 

 ihn auf der einen oder andern Seite der Querschnitte a oder b liegend denken. Die a., mit b^ 

 verbindende Linie, die eigentlich zum Querschnitte a., gehört, nennen wir c (s. Fig. 2). Wir 

 können fiir's Frste bemerken, dass die Function u beim Überschreiten der Linie c stetig 

 bleibt: «jehen wir nämlich in der Flä<-he T' von einem Punkte auf der einen Seite von c bis 

 zu demselben Punkte auf der andern, indem wir längs der Begrenzung, die durch das Quer- 

 schnittsvstem «i, b^ gebildet wird, in der Pvichtung der Pfeile integriren, so wird jeder dieser 

 beiden Querschnitte und ein Stück von c zweimal, das zweite Mal in entgegengesetzter Richtung 

 durchlaufen, die Elemente des Integralsy"c?» heben sieh also gegenseitig auf und sein Werth, der 

 die Differenz der Werthe von u auf der einen und andern Seite von c angiebt, ist 0. Die Func- 

 tion hat demnach in einem Punkte auf der einen Seite denselben Werth wie in demselben 

 Punkte auf der andern Seite; man kann folglich bei Integrationen immer die Linie c über- 

 schreiten, ohne dass dies den Werth des Litegrals/fZ« in T' beeinflusst. — Gehen wir nun von 

 dem Punkte a" auf der negativen Seite von a^ zum entsprechenden Punkte « auf der positiven, 

 indem wir die äussere Seite des Querschnittes b^ durchlaufen, so ist die Differenz der Werthe 

 von n in diesen beiden Punkten, die wir mit «"^ ' — u~^ bezeichnen wollen,, gleich dem Inte- 

 grale fdu längs des Querschnittes b^ von a" bis a erstreckt: also gleich dem Integrale f d/i 



rechtsherum um die Verzweigungspunkte 1 und -^ erstreckt. Der Werth dieses Integrals bleibt 



nngeändcrt, wenn man den Punkt, wo die Integrationscurve den Querschnitt a^ trifft, vom 

 Punkte ä ab auf der Linie a^ beliebig verschiebt, da man bei der Integration durch eine geschlos- 

 sene Curve beliebige Flächenstücke, in denen die Function -— endlich und stetig bleibt. 



ein- und austreten lassen kann. Man erkennt daraus, dass für jeden Punkt des Querschnittes 

 (7, die Differenz der "Werthe von u auf der positiven und negativen Seite eine constante ist. 



l>iese in der ganzen Ausdehnung des Querschnittes constante Grösse nennt man den Periodi- 

 citätsmodul der Function u für den Querschnitt a^. Eben so findet man durch ähnliches 

 Raisonnement, dass die Periodicitätsmodulen für die übrigen Querschnitte constante Grössen 

 sind, unabhängig von der Gestalt der Schnitte; ihr W^erth ist gleich dem Integrale fdu 

 erstreckt durch die resp. Querschnitte, die von der negativen auf die positive Seite der 

 betrachteten führen; sie sind demnach bestimmte Integrale, die um zwei Verzweigungspunkte 

 herumgehen. 



Wir wollen jetzt die Periodicitätsmodulen für die Querschnitte ßj , b^, a.,, b.,, die wir resp. 

 mit A'''\ B^'\ A^''\ jBf'-' bezeichnen, auswcrthen. Für die Linie c ist nach dem Vorigen der 

 Periodicitätsmodul gleich 0. Zu dem Ende ziehen wir die Integrationscurven der bestimmten, 

 die Periodicitätsmodulen repräsentirenden Integrale nach jeder Richtung möglichst zusammen 

 und machen sie geradlinig, so dass sie sich ganz an die Abscissenaxe anlegen. Dies ist 



erlaubt, da dadurch nur Flächenstücke, in denen — endlich bleibt, ein- und austreten, womit 



dx 



keine Änderung der Werthe der durch geschlossene Curven erstreckten Integrale verbunden 

 ist. Wir erhalten dann: 



