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1 4 Fr ic d r i c h P r y m. 



1. «+' — »-' = ^f" = fdu + I — du = 2 fein = 2A' 



X- 



2. /(+' — ir- = 5"' = /'(Z// + /'— '/" = — - / ^^" = — -2K 



1 U 



1 



3. H+' — «^-^ = .4'-' ^ j du + f— du = -2 fdu = 27. 



4. «+^ _ „-^ = i?(ä' = /^S„ + l"!! du = — 2 fdu = — 2Li. 



Bei dem zweiten Integrale in jeder Formel hat du das entgegengesetzte Vorzeichen wie beim 

 ersten, weil dort die lutegrationscurve entweder auf der andern (rechten) Seite eines Verzwei- 

 gungsschnittes (wie bei 2. und 3.) oder in der untern Fläche (wie bei 1. und 4.) verläul't, in 

 welchen beiden Fällen s^ und folglich auch du, einen dem ursprünglichen entgegengesetzten 

 Werth hat. Die Integrationscurven der Integrale 1. und 3. gehen rechts, diejenigen der Inte- 

 grale 2. und 4. links um die betreffenden Verzweigungspunkte herum: eben weil dieselben 

 von der negativen auf die positive Seite der Querschnitte, deren Periodicitätsmodulen sie 

 repräsentiren , führen müssen. Unter den im §. 1 über die Grössen a, j5, x, X, fi gemachten Vor- 

 aussetzungen haben die Grössen Ä', K\ L, L' reelle Werthe, wie sich leicht durch Betrachtung 



-I TXT 1 •• '^"- (« + i3^) 



der Wurzelgrosse — = ergebt. 



Unsere durch Beschränkung des Integrationsweges des Integrales u auf die Fläche T' 

 entstandene Integralfunction u, die in Folge dessen allenthalben in der Fläche T' einwertliige 

 und stetige Bestimmtheit hat, ist demnach so in der Begrenzung dieser Fläche beschafteii. 

 dass ihre Werthe zu beiden Seiten eines Querschnittes in den entsprechenden Punkten mir 

 nm eine Constante verschieden sind: mit anderen Worten, sie ändert sich beim Überschreiten 

 der Querschnitte um constante Modulen, und zwar giebt es deren, den vier Querschnitten 

 entsprechend, vier verschiedene, die als incommensurable Grössen insofern von einander unab- 

 hängig sind, als nicht einer von ihnen sich aus endliehen Vielfachen der übrigen drei zusammen- 

 setzen lässt. Hätten wir die Fläche Tauf andere Weise durch vier Querschnitte zerlegt, so wären 

 auch andere Periodicitätsmodulen gekommen, die sich aber linear durch die vorliegenden vier 

 ausdrücken lassen würden. Dies ist leicht zu zeigen, denn da die Periodicitätsmodulen bei jeder 

 Zerlegung der Fläche nichts anderes sind als Integrale durch eine geschlossene Curve um zwei 

 Verzweigungspunkte erstreckt, so ist der Beweis geliefert, wenn man das in der Eeilie noch 



ijdu 



fehlende Integral^ du durch die übrigen ausdrücken könnte. Zu dem Ende ziehen wir in der 

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obern Fläche T eine geschlossene Curve um sämmtliche Verzweigungsschnitte (s. Fig. 3); 

 da ausserhalb ihrer keine Verzweigungspunkte mehr liegen, so kann man nicht von der einen 

 Seite auf die andere kommen, sie bildet also die irauze Besrenzuno- ehies Theiles der Fläche? 



