Neice Theorie der ultrae/liptischen Functionen. 15 



und folglich ist f du durch sie erstreckt gleich 0. Zieht man sie bis an die Verzweigungs- 

 schnitte zusammen und macht sie geradlinig, so ei'giebt sich: 



denn nur zu beiden Seiten der Verzweigungsschnitte hat du in einem Blatte entgegengesetzte 

 Werthe. Es folet die wichtio'e Relation: 







= f(^>< + / f^» + fdui 



die für jedes x, X, jj. gilt. Jetzt sind uns die Werthe der Integrale, zwischen je zwei beliebigen 



Verzweigungspunkten auf der linken Seite der Abscissenaxe in der obern Fläche erstreckt, 



bekannt, denn man hat 



I 1 I 



/ du =^ -ST, / du ^= K'i, j du = — / du — / du = — K — L, 1 du = Li, j du = L, 



Ol IUI 1 1 



%^ [L~ X- (J-- 



du := K'i + Li 



'0 



etc. Entsprechend finden wir die Werthe derselben einfachen Integrale, auf geradem Wege 

 zwischen zwei Verzweigungspunkten erstreckt, für die untere Fläche auf den Strecken, wo 

 dieselbe nicht mit der obern zusammenhängt, oder für die rechten Seiten der Verzweigungs- 

 schnitte, wo solche das obere Blatt trennen, indem wir zwischen diesen Stellen dem du das 

 negative Vorzeichen geben, Avodurch die betreffenden Integralwerthe auch nur bezüglich des 

 Vorzeichens geändert werden. Man sieht, dass eine andere Zerlegung der Fläche analytisch 

 dasselbe ist, als wenn man durch Addition der vier vorliegenden Modulen vier neue von ein- 

 ander imabhängige bildete: eine Erscheinung, die sich analog bei der Theorie der ellip- 

 tischen Functionen findet. Hierin liegt auch der leicht auszuführende Beweis, dass die Anzahl 

 der Querschnitte, durch die T in eine einfach zusammenhangende Fläche zerlegt wird, immer 

 constant gleich vier ist. 



Das Resultat unserer Untersuchung ist jetzt, dass wir durch die Zerlegung der Fläche T 

 in die einfach zusammenhangende T" und durch Beschränkung des Integrationsweges des 

 Integrales / du auf diese letztere einen der unendlich vielen Zweige der Function u 

 abgesondert haben; welcher dies ist hängt von dem Anfangswerthe u^ ab, den man der 

 Function für x = giebt. Die Function ist einwerthig in T bestimmt, wird dafür aber beim 

 Überschreiten der Querschnitte unstetig; wir haben also dieselbe Erscheinung wie bei den 

 mehrwerthigen algebraischen Functionen , die auch, wenn wir sie in einer Ebene einwerthig 

 bestimmten , längs gewissen Linien unstetig werden mussten. Die verschiedenen Zweige 

 der Function u unterscheiden sich nur um Vielfache der Periodicitätsmodulen; längs eines 

 Querschnittes stossen gleichsam zwei Zweige an einander, die sich um den betreffenden Perio- 



