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dicitätsmodul unterscheiden. Wenn man demgemäss nur einen Zweig betrachtet, mit anderen 

 "Worten sich vollkommen in der Fläfhe 7" hält, so kann man u als vollkommen 

 bestimmte Function des Ortes in dieser Fläche ansehen, denn einem jeden Punkte a",.v 

 entspricht dann, wenn «^ bestimmt ist, nur ein Werth von z;. Die Natur dieser Function worden 

 Avir bald durch die Inversion näher kennen lernen. Operirt man dagegen in der Fläche 7', so 

 sind Umgänge um die Verzweigungspunkte, die in 7" durch die Querschnitte gehindert werden, 

 in beliebiger Anzahl gestattet: und da der Werth eines jeden Integrals /r/«, das in 7" durch 

 eine geschlossene Curve ausgedehnt wird, sich durch Ganze der Periodicitätsmodulen , wie 

 eben bewiesen, ausdrücken lässt, so folgt, dass man durch Integrationen um die Verzweigungs- 

 punkte noch immer beliebige Vielfache der Perioden zu dem ursprünglichen Werthe von « im 

 Punkte x,s zuaddiren kann. Bezeichnen nun m, n, o, p vier ganze, positive oder negative 

 Zahlen, so lassen sich (da 7^ und L, so wie 7v" und L' incommensurable Grössen sein müssen, 

 wenn anders nicht zwei Perioden in eine einzige zusammenfallen sollen) dieselben immer so 



bestimmen , dass 



lim [niK + nL) = P 



lim (o K'i -[- pLi) = Qi 

 wo 7'+ Qi. eine ganz beliebige Grösse, zu u addirbar ist. Da man nun diese Grösse auch 

 beliebig klein werden lassen kann, die Function u also, während x dasselbe bleibt, durch 

 Stufen fortschreiten kann, die kleiner sind als jede noch so kleine Grösse, so kann ohne Vor- 

 aussetzung eines bestimmten Weges in T von einem eigentlichen Functionalzusammenhange 

 zwischen x und u nicht mehr die Rede sein. In Folge dessen ist auch der Anfangswerth ;^o 

 eine ganz willkürliche Grösse, die man beliebig festsetzen kann. 



§• 6- 

 Denken wir uns alle die Werthe, die u bei gegebenem Anfangswerthe in der Fläche 7" 

 hat, als Punkte auf einer Ebene JJ abgebildet, so erhalten wir, da u in 7" stetig und endlich 

 ist, eine die ZJ-Ebene einfach oder mehrfach bedeckende Flache, die der T' in den kleinsten 

 Theilen ähnlich ist. In P'olge dessen ist sie auch einfach zusammenhangend, und einem Punkte 

 in der einen Fläche entspricht nur ein Punkt in der andern, einer geschlossenen Curve in der 

 einen auch eine geschlossene in der andern. Wie uns nun 7" den Charakter von u als Function 

 von X in der Ausdehnung eines Zweiges repräsentirte, so wird uns umgekehrt Z7 die Variable 

 X als Function von u darstellen; wir können sie desshalb füglich die inverse Fläche nennen. 

 Da II in T' niemals unendlich wird, so wird die inverse Fläche die t^-Ebene nur theilweise 

 bedecken; sie wird also eine vollkommene Begrenzung haben, die den Querschnittlinien in 

 den kleinsten Theilen ähnlich ist. Wir brauchen demnach nur die Begrenzung von T' abzu- 

 bilden, um alle Punkte, die abzubilden sind, einzufassen. Zu diesem Ende gehen wir vom 

 Punkte a!" aus, der auf der negativen Seite von Oj und i, liegt, und es habe für diesen Punkt 

 die Function den Werth «/, den man beliebig annehmen kann. Wir durchlaufen in der Kicli- 

 tung der Pfeile zuerst die äussere Seite von 6, bis zurück zum Punkte o, wobei wir die Linie 

 c, da ihr Periodicitätsmodul gleicli 0, überschreiten düi'fen, dann sind wir von der negativen 

 Seite von r/, auf die positive gekommen, und ii ist um den Periodicitätsmodul grösser gewor- 

 den; diesem Wege entspricht also in der ?7-Ebene eine Curve (1) vom Punkte u bis zum 

 Punkte m' -(- J.<'> (s. Fig. 4). Zweitens durchlaufen wir weitergehend die innere Seite von «j, 

 von a bis o', dann kommen wir von d(;r negativen Seite von h^ auf die positive, also zu einem 

 uui 7>"" grössern Werthe von u\ diesem AVege entspricht eine Curve (2) vom Punkte u! -f- .d"' 



